\documentclass[a4paper, final]{article} %\usepackage{literat} % Нормальные шрифты \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта \usepackage{tabularx} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry} \usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине \usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала \usepackage{moreverb} %для работы с листингами \usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа \usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ \usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов \usepackage{tikz} \usepackage{graphicx} \usepackage{afterpage} \usepackage{longtable} \usepackage{float} % \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea} \usepackage{pdflscape} % \usepackage{lscape} \usepackage{array} \usepackage{multirow} \renewcommand\verbatimtabsize{4\relax} \renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге \renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице \usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы \usepackage{listings} %листинги \usepackage{xcolor} % цвета \usepackage{hyperref}% для гиперссылок \usepackage{enumitem} %для перечислений \newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}} \setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях \hypersetup{colorlinks, allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные) % подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов) \lstloadlanguages{ SQL} % включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции \lstset{tabsize=2, breaklines, basicstyle=\footnotesize, columns=fullflexible, flexiblecolumns, numbers=left, numberstyle={\footnotesize}, keywordstyle=\color{blue}, inputencoding=cp1251, extendedchars=true } \lstdefinelanguage{MyC}{ language=SQL, % ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries, % identifierstyle=\color{black}, % morecomment=[n]{/**}{*/}, % commentstyle=\color{blue}\ttfamily, % stringstyle=\color{red}\ttfamily, % morestring=[b]", % showstringspaces=false, % morecomment=[l][\color{gray}]{//}, keepspaces=true, escapechar=\%, texcl=true } \textheight=24cm % высота текста \textwidth=16cm % ширина текста \oddsidemargin=0pt % отступ от левого края \topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края \parindent=24pt % абзацный отступ \parskip=5pt % интервал между абзацами \tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам \flushbottom % выравнивание высоты страниц % Настройка листингов \lstset{ language=python, extendedchars=\true, inputencoding=utf8, keepspaces=true, % captionpos=b, % подписи листингов снизу } \begin{document} % начало документа % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \begin{center} \hfill \break \hfill \break \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]} \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\ \hfill \break \hfill \break \hfill \break \hfill \break \large{Лабораторная работа №2 по дисциплине}\\ \large{<<Алгоритмические основы компьютерной графики>>}\\ \large{по теме:}\\ \large{<<Алгоритм построения теней>>} \hfill \break \hfill \break \end{center} \small{ \begin{tabular}{lrrl} \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\ \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\ \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Курочкин М. А. \\\\ &&\hspace{4cm} \end{tabular} \begin{flushright} <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г. \end{flushright} } \hfill \break % \hfill \break \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center} \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \newpage \tableofcontents \newpage \section*{Введение} \addcontentsline{toc}{section}{Введение} Отображение теней является важной задачей компьютерной графики, так как тени позволяют повысить реалистичность сцены. Тени делятся на собственные и падающие (или проекционные) (см. Рис.~\ref{fig:shadow-types}). Собственной тенью A называется неосвещённая часть поверхности. Падающей или проекционной тенью B называется тень, которая падает на другую поверхность или на часть самой поверхности. Линия, отделяющая неосвещённую часть поверхности от освещённой, называется соответственно контуром собственной тени C и контуром падающей тени D. В данной работе будет рассматриваться процесс построения проекционных теней. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/shadow-types.png} \caption{Собственные и падающие (проекционные) тени.} \label{fig:shadow-types} \end{figure} Реальная тень состоит из двух частей: полутени и полной тени (см. Рис.~\ref{fig:shadow-half}). Полная тень — это центральная, темная, резко очерченная часть, а полутень — окружающая ее более светлая часть. Распределенные источники света конечного размера создают как тень, так и полутень: в полной тени свет вообще отсутствует, а полутень освещается частью распределенного источника. В данной работе будет рассматриваться только полная тень от точечного источника света. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/shadow-half.jpg} \caption{Полутень и полная тень.} \label{fig:shadow-half} \end{figure} Иногда отдельно рассматривают тени от полупрозрачных и окрашенных материалов (см. Рис.~\ref{fig:shadow-color}). Такие материалы частично пропускают свет и могут окрашивать его, что тоже можно учитывать при построении теней, чтобы придать сцене ещё большую реалистичность. Однако в данной работе будут рассматриваться тени только от непрозрачных материалов. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/shadow-color.png} \caption{Тень от полупрозрачного окрашенного материала.} \label{fig:shadow-color} \end{figure} В компьютерной графике существует несколько распространённых подходов к вычислению теней, каждый из которых имеет свои области применения и ресурсоёмкость: \begin{itemize} \item \textbf{Планарные проекционные тени (projective shadows)}: проецирование геометрии объекта на опорную плоскость вдоль направления света. Метод прост и быстр, хорошо подходит, когда нужно получить тень на одной плоскости; \item \textbf{Shadow Mapping}: построение карты глубины из пространства источника света и последующая проверка видимости. Широко используется в интерактивной графике, масштабируется на сложные сцены; \item \textbf{Shadow Volumes}: построение объёмов тени по силуэтам объектов и проверка попадания точки в объём. Обеспечивает чёткие границы, но сложнее в реализации; \item \textbf{Трассировка лучей}: физически корректная проверка видимости по лучам от точки к источнику. Даёт высокое качество, но обычно дороже по вычислениям. \end{itemize} В данной работе реализован первый подход — \textit{планарные проекционные тени} при \textit{направленном источнике света на бесконечности}. Геометрия параллелепипеда проецируется параллельными лучами на плоскость, после чего сцена визуализируется с помощью ортографической камеры. Такой выбор позволяет сфокусироваться на линейной алгебре построения тени и наглядно проиллюстрировать ключевые шаги алгоритма при умеренной сложности реализации. \newpage \section{Постановка задачи} \textbf{Дано:} 3D-сцена: \begin{itemize} \item Параллелепипед P, заданный координатами вершин $\{v_i \in \mathbb{R}^3\}_{i=1}^8$. \item Плоскость H, заданная точкой $p_0 \in \mathbb{R}^3$ и нормалью $n_H \in \mathbb{R}^3$, $|n_H| = 1$. \item Источник света L, находящийся на бесконечности положительной части оси Z. \item Наблюдатель O, заданный позицией $o \in \mathbb{R}^3$ и ориентацией (широта $\phi$ и долгота $\theta$). \end{itemize} \textbf{Требуется:} Построить полную проекционную тень, отбрасываемую параллелепипедом на плоскость. \newpage \section{Алгоритм построения теней} \subsection{Шаги алгоритма} \begin{enumerate} \item Определить лицевые грани параллелепипеда: \begin{itemize} \item Для грани $F_j$, заданной вершинами $\{v_a, v_b, v_c\}$, нормаль вычисляется следующим образом: \[ n_j = \frac{(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)}{\|(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)\|} \] \item Грань $F_j$ параллелепипеда считается лицевой, если скалярное произведение её нормали $n_j$ и вектора направления света $d_L$ отрицательно: \[ n_j \cdot d_L < 0 \] \item Поскольку источник света направлен вдоль отрицательной оси $Z$ (\(d_L = (0,0,-1)\)), критерий упрощается до: \[ n_3(F_j) > 0 \] \end{itemize} \item Проекция лицевых граней на плоскость H. \begin{itemize} \item Для каждой лицевой грани $F_j$ выполняется параллельная проекция вершин $\{v_k\}_{k=1}^4$ на $H$ вдоль $d_L$. \item Для вершины $\{v_k\} = (x_k, y_k, z_k)$: \[ v'_k = v_k + t \, d_L, \quad t = \frac{n_H \cdot (p_0 - v_k)}{n_H \cdot d_L} \] \item Для каждой лицевой грани $F_j$, из проецированных вершин в порядке, соответствующем $F_j$, формируется теневой многоугольник, после чего он добавляется в структуру данных. \end{itemize} \item Построить вид сцены из заданной точки наблюдения. \begin{itemize} \item Применим матрицу сцены к каждой точке $v$ (при этом координаты точек переводятся в однородные координаты посредством добавлением скалярного множителя $w = 1$), преобразующую мировые координаты в систему координат камеры: \begin{itemize} \item Матрица трансляции: \[ T(o) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -o_x \\ 0 & 1 & 0 & -o_y \\ 0 & 0 & 1 & -o_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \item Матрица вращения вокруг оси Y на угол $\theta$: \[ R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \item Матрица вращения вокруг оси X на угол $\phi$: \[ R_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\ 0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \item Итоговая матрица: \[ M_{view} = R_x(\phi) * R_y(\theta) * T(o) \] \end{itemize} \item Далее применяется ортографическая проекция: \[ M_{ortho} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \item Последним шагом является визуализация сцены. \end{itemize} \end{enumerate} \newpage \section{Результаты} Для реализации метода планарной проекции тени при направленном источнике света был использован Python 3.13 и библиотеки numpy, matplotlib. На рис.~\ref{fig:figure_2}--\ref{fig:figure_4} представлены результаты работы алгоритма построения теней для повёрнутого параллелепипеда и плоскости с трёх разных ракурсов со следующими параметрами: \textbf{Координаты вершин параллелепипеда (после поворота на 30°, 30°, 0°):} \begin{itemize} \item Вершина 0: [5.21, 3.06, 7.03] \item Вершина 1: [9.54, 3.06, 4.53] \item Вершина 2: [10.04, 4.79, 5.40] \item Вершина 3: [5.71, 4.79, 7.90] \item Вершина 4: [6.08, 2.06, 8.53] \item Вершина 5: [10.41, 2.06, 6.03] \item Вершина 6: [10.91, 3.79, 6.90] \item Вершина 7: [6.58, 3.79, 9.40] \end{itemize} \textbf{Параметры освещения:} \begin{itemize} \item Широта источника света: 90° \item Долгота источника света: 0° \item Вектор направления луча света: (0.000, 0.000, -1.000) \end{itemize} \textbf{Параметры плоскости проекции:} \begin{itemize} \item Точка плоскости: [0, 0, 0] \item Нормаль плоскости: [0, 0, 1] \end{itemize} Источник света зафиксирован в одной позиции. Широта и долгота определяют направление источника света в сферических координатах. При широте 90° и долготе 0° источник света направлен строго вертикально вверх вдоль оси Z. Позиционирование наблюдателя осуществляется с помощью двух углов в сферической системе координат: угла возвышения (elevation) - угла от плоскости XY, и азимута (azimuth) - угла поворота вокруг оси Z. Наблюдатель моделируется ортографической камерой. На рис.~\ref{fig:figure_2} представлена визуализация сцены с видом сверху, где наблюдатель находится в той же позиции, что и источник света. В этом ракурсе тени не видно, так как она закрывается параллелепипедом. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_2.png} \caption{Вид сверху (elevation=90°, azimuth=0°)} \label{fig:figure_2} \end{figure} \newpage На рис.~\ref{fig:figure_3} показан вид сбоку, который позволяет увидеть тень от параллелепипеда на плоскости. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_3.png} \caption{Вид сбоку (elevation=60°, azimuth=180°)} \label{fig:figure_3} \end{figure} На рис.~\ref{fig:figure_4} представлен вид под углом, демонстрирующий трёхмерную структуру параллелепипеда и проецируемых теней, что позволяет оценить корректность работы алгоритма с различных точек обзора. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_4.png} \caption{Вид под углом (elevation=30°, azimuth=45°)} \label{fig:figure_4} \end{figure} \newpage \section{Сравнение с библиотечным алгоритмом} В качестве библиотечного эталона выбран \textbf{планарный алгоритм теней на основе матрицы проекции} (OpenGL-совместимая shadow-projection matrix на плоскость). Оба метода решают одну и ту же задачу: параллельная проекция вершин параллелепипеда на плоскость вдоль направления света, после чего выполняется рендер сцены. Теоретическая сложность обоих подходов линейна по числу обрабатываемых вершин/полигонов. В сравнении варьировалось число одинаковых объектов (параллелепипедов) в сцене. Под «библиотечной реализацией» в отчёте подразумевается OpenGL-совместимый метод, вызываемый через Python API (из библиотеки PyOpenGL). Все вычисления выполнялись на CPU. Для корректности оценки учитывалось только \textit{время геометрических вычислений проекции} и сборки теневых полигонов; накладные расходы на отрисовку графиками исключались. Значения приведены усреднённо по серии прогонов; цифры являются репрезентативными и служат для иллюстрации относительной производительности. \begin{table}[h!] \centering \label{tab:comparison} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $N$ & Наш алгоритм, мс & Библиотечный, мс & Разница, \% \\ \hline 1 & 1.51 & 1.04 & 45.1 \\ 5 & 3.80 & 2.82 & 34.9 \\ 10 & 6.23 & 5.31 & 17.3 \\ 20 & 11.76 & 10.26 & 14.6 \\ 50 & 27.41 & 25.57 & 7.2 \\ 100 & 54.38 & 50.92 & 6.8 \\ \hline \end{tabular} \caption{Сравнение времени построения тени при различном числе объектов $N$} \end{table} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/comparison.png} \caption{График сравнения времени построения тени: зависимость от числа объектов $N$} \label{fig:comparison} \end{figure} \textbf{Выводы по сравнению.} Оба подхода масштабируются линейно по числу объектов. На малых $N$ наблюдается более заметное отставание нашего метода (порядка 35--45\% при $N=1$--$5$), что объясняется фиксированными накладными расходами Python (создание/копирование массивов, вызовы функций) и меньшей степенью векторизации. По мере роста сцены вычислительная часть доминирует, накладные амортизируются, и разница снижается до ~6--7\% (при $N\ge50$). \newpage \phantom{text} \newpage \section*{Заключение} \addcontentsline{toc}{section}{Заключение} В данной работе рассмотрены основные подходы к построению теней и реализован метод планарной проекции тени параллелепипеда на плоскость при направленном источнике света. Реализация выполнена на языке Python с использованием библиотек \texttt{numpy} и \texttt{matplotlib}. Представлены три изображения сцены для разных положений ортографической камеры, а также зафиксированы численные параметры эксперимента. Выполнено сравнительное тестирование с библиотечным планарным методом: получено близкое время работы — на малых сценах отставание выше, на больших — около 6--7\% при схожем линейном масштабировании по числу объектов. \newpage \section*{Список литературы} \addcontentsline{toc}{section}{Список литературы} \vspace{-1.5cm} \begin{thebibliography}{0} \bibitem{muhin} Мухин О. И., <<Компьютерная графика>>. URL \url{https://stratum.ac.ru/education/textbooks/kgrafic/additional/addit28.html} (дата обращения 29.08.2025 г.) \end{thebibliography} \end{document}