\documentclass[a4paper, final]{article} %\usepackage{literat} % Нормальные шрифты \usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта \usepackage{tabularx} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage[left=15mm, top=15mm, right=15mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry} \usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине \usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала \usepackage{moreverb} %для работы с листингами \usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа \usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ \usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов \usepackage{tikz} \usepackage{graphicx} \usepackage{afterpage} \usepackage{longtable} \usepackage{float} % \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea} \usepackage{pdflscape} % \usepackage{lscape} \usepackage{array} \usepackage{multirow} \renewcommand\verbatimtabsize{4\relax} \renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге \renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице \usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы \usepackage{listings} %листинги \usepackage{xcolor} % цвета \usepackage{hyperref}% для гиперссылок \usepackage{enumitem} %для перечислений \newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}} \setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях \hypersetup{colorlinks, allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные) % подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов) \lstloadlanguages{ SQL} % включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции \lstset{tabsize=2, breaklines, basicstyle=\footnotesize, columns=fullflexible, flexiblecolumns, numbers=left, numberstyle={\footnotesize}, keywordstyle=\color{blue}, inputencoding=cp1251, extendedchars=true } \lstdefinelanguage{MyC}{ language=SQL, % ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries, % identifierstyle=\color{black}, % morecomment=[n]{/**}{*/}, % commentstyle=\color{blue}\ttfamily, % stringstyle=\color{red}\ttfamily, % morestring=[b]", % showstringspaces=false, % morecomment=[l][\color{gray}]{//}, keepspaces=true, escapechar=\%, texcl=true } \textheight=24cm % высота текста \textwidth=16cm % ширина текста \oddsidemargin=0pt % отступ от левого края \topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края \parindent=24pt % абзацный отступ \parskip=5pt % интервал между абзацами \tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам \flushbottom % выравнивание высоты страниц % Настройка листингов \lstset{ language=python, extendedchars=\true, inputencoding=utf8, keepspaces=true, % captionpos=b, % подписи листингов снизу } \begin{document} % начало документа % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \begin{center} \hfill \break \hfill \break \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]} \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\ \hfill \break \hfill \break \hfill \break \hfill \break \large{Индивидуальное домашнее задание №3}\\ \large{по дисциплине}\\ \large{<<Математическая статистика>>}\\ \large{Вариант 27}\\ % \hfill \break \hfill \break \end{center} \small{ \begin{tabular}{lrrl} \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\ \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\ \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Малов С. В. \\\\ &&\hspace{4cm} \end{tabular} \begin{flushright} <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г. \end{flushright} } \hfill \break % \hfill \break \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center} \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА \newpage \section {Задание №1} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1.png} \label{fig:task1} \end{figure} \subsection{Пункт a} Вариационный ряд: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 14. Эмпирическая функция распределения (ЭФР) $$ \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{\textbf{1}}_{\{X_i \leq x\}}, $$ где $n$ — объем выборки. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.55\linewidth]{img/task1_1.png} \label{fig:task1_1} \end{figure} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.55\linewidth]{img/task1_2.png} \label{fig:task1_2} \end{figure} \subsection{Пункт b} \textbf{(i) Выборочное среднее (математическое ожидание)} Выборочное среднее — оценка теоретического математического ожидания. $$ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = 1.96 $$ \textbf{(ii) Выборочная дисперсия} Несмещённая оценка дисперсии: $$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 = 7.67 $$ Смещенная оценка дисперсии: $$ s^2_{\text{смещенная}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = 7.52 $$ где: \begin{itemize} \item $ n $ — общее количество наблюдений, \item $X_i$ — каждое отдельное наблюдение, \item $\bar{X}$ — среднее значение выборки. \end{itemize} \textbf{(iii) Медиана} $$ \text{Медиана} = \begin{cases} X_{\left(\frac{n}{2}\right)} & \text{если } n \text{ чётно} \\ \frac{X_{\left(\frac{n-1}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}}{2} & \text{если } n \text{ нечётно} \end{cases} $$ Для данных из варианта: $$ \text{Медиана} = 1 $$ \textbf{(iv) Ассиметрия} $$ Skewness = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^3}{s^3} = 2.25 $$ \textbf{(v) Эксцесс} $$ Kurtosis = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4}{s^4} - 3 = 5.92 $$ \textbf{(vi) Вероятность $P(X \in [0.00, 2.49])$} $$ P(X \in [a, b]) = \frac{\text{число элементов выборки} \in [a, b]}{n}. $$ Для данных из варианта: $$ P(X \in [0.0, 2.49]): 0.74 $$ \subsection{Пункт c} \textbf{1. Оценка максимального правдоподобия (ОМП)} Функция правдоподобия для Пуассона: $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n}\frac{\lambda^{X_i}e^{-\lambda}}{X_i!}. $$ Логарифмируя, получаем: $$ \ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} \left( X_i \ln \lambda - \lambda - \ln X_i! \right). $$ Дифференцируя по $\lambda$, приравнивая к нулю: $$ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} X_i - n = 0 \Longrightarrow \hat{\lambda}_{\text{ОМП}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \bar{X}. $$ ОМП для $\lambda$: 1.96 \textbf{Смещение ОМП:} В случае распределения Пуассона оценка максимального правдоподобия (ОМП) параметра $\lambda$ совпадает с выборочным средним: $$ \hat{\lambda}_{\text{ОМП}} = \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i. $$ Найдём математическое ожидание этой оценки: $$ \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = \mathbb{E} \left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[x_i]. $$ Так как для распределения Пуассона $\mathbb{E}[x_i] = \lambda$, то: $$ \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = \frac{1}{n} \cdot n \lambda = \lambda. $$ Отсюда следует: $$ \text{Смещение}(\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}) = \lambda - \lambda = 0. $$ \textbf{2. Оценка по методу моментов (ОММ)} Приравниваем теоретическое математическое ожидание к выборочному: $$ E[X]=\lambda \Longrightarrow \hat{\lambda}_{\text{MM}} = \bar{X}. \ $$ ОММ для $\lambda$: 1.96 \textbf{Смещение ОММ:} Метод моментов приводит к той же оценке: $$ \hat{\lambda}_{\text{ММ}} = \bar{x}. $$ Математическое ожидание: $$ \mathbb{E}[\hat{\lambda}_{\text{ММ}}] = \lambda \ $$ Смещение этой оценки: $$ \text{Смещение}(\hat{\lambda}_{\text{ММ}}) = \lambda - \lambda = 0. $$ Таким образом, обе оценки ($\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}$ и $\hat{\lambda}_{\text{ММ}}$) являются несмещёнными. \subsection{Пункт d} Aсимптотический доверительный интервал уровня значимости $\alpha_{1}=0.02$ для параметра $\lambda$ на базе оценки максимального правдоподобия \textbf{Шаги построения} \begin{enumerate} \item Оценка $\hat{\lambda}$ ОМП параметра $\lambda$ равна выборочному среднему: $$ \hat{\lambda} = \bar{x} = 1.96 $$ \item Стандартная ошибка Для распределения Пуассона дисперсия равна $\lambda$: $$ SE = \sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}} = 0.198$$ \item Квантиль нормального распределения Для уровня значимости $\alpha_{1} = 0.02$: $$ z_{1-\alpha/2} = z_{0.99} $$ \item Границы интервала $$ \hat{\lambda} \pm z_{0.99} \cdot SE $$ Доверительный интервал (98\%): $\lambda \in (1.499, 2.421)$ \end{enumerate} \subsection{Пункт e} Критерий $\chi^2$ для проверки гипотезы согласия с распределением Пуассона ($\lambda_0 = 2.00$) Критерий $\chi^2$ проверяет, насколько эмпирические частоты $O_i$ соответствуют теоретическим частотам $E_i$ при заданном распределении. \begin{enumerate} \item Расчёт наблюдаемых и теоретических частот: $O_i$ - наблюдаемые частоты для каждого интервала, $$ E_i = n \cdot P(X = k\ |\ \lambda = \lambda_0), $$ где $P(X=k)$ — вероятность по распределению Пуассона. \item Группировка данных: Объединить значения так, чтобы $E_i \geq 5$. \item Статистика $\chi^2$: $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}. $$ \item Степени свободы: $$ df = k - 1 - m, $$ где $k$ — число категорий, $m=0$. \end{enumerate} \textbf{Критическое значение:} Сравнение с $\chi_{\text{крит}}^2(df, \alpha)$. \textbf{p-значение:} Вероятность $P(\chi^2 \geq \chi_{\text{набл}}^2)$. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table1.png} \end{figure} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/table2.png} \end{figure} \newpage \textbf{Интерпретация} \begin{itemize} \item Наблюдаемые частоты $O_i$ — количество раз, когда значение $k$ встречается в выборке. \item Теоретическая вероятность $P(X=k)$ — вероятность по распределению Пуассона с $\lambda=2.0$. \item Теоретическая частота $E_i$ — ожидаемое количество значений $k$ при условии, что данные следуют распределению Пуассона ($E_i = n \cdot P(X = k)$). \end{itemize} После группировки категорий (чтобы $E_i \geq 5$) таблица принимает вид: \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table3.png} \end{figure} $\chi^2$ наблюдаемое: 29.022 Критическое значение ($\alpha=0.02$): 11.668 p-значение: 0.0000077 Отвергаем гипотезу на уровне $\alpha=0.02$ Наибольший уровень значимости, на котором ещё нет оснований отвергнуть гипотезу: 0.0000077 Это означает, что гипотеза отвергается на любом уровне значимости $\alpha \geq 0.0000077$ \subsection{Пункт f} Критерий $\chi^2$ для проверки сложной гипотезы согласия с распределением Пуассона \textbf{Оценка параметра $\lambda$} Если параметр $\lambda$ неизвестен, его оценивают по выборке (например, через выборочное среднее): $$ \hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, $$ где $x_i$ — значения выборки, $n$ — объем выборки. \textbf{Степени свободы} Число степеней свободы для критерия $\chi^2$: $$ df = k - 1 - m, $$ где: - \( k \) — количество интервалов, - \( m \) — количество оцененных параметров (в данном случае \( m = 1 \), так как оценивается $\lambda$). \textbf{Критическое значение:} Сравнение с $\chi_{\text{крит}}^2(df, \alpha)$. \textbf{p-значение:} Вероятность $P(\chi^2 \geq \chi_{\text{набл}}^2)$. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/table4.png} \end{figure} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table5.png} \end{figure} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/table6.png} \end{figure} Хи-квадрат статистика: 27.3903 Критическое значение ($\alpha=0.02$): 9.8374 p-value: 0.000005 Вывод: Отвергаем нулевую гипотезу \subsection{Пункт g} Наиболее мощный критерий проверки гипотезы $H_0 : \lambda = \lambda_0 = 2.0$ против $H_1 : \lambda = \lambda_1 = 4.0$ \textbf{Логарифм отношения правдоподобия} Функция правдоподобия для распределения Пуассона: $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!} $$ Логарифм отношения правдоподобия: $$ \ln \left( \frac{L(\lambda_1)}{L(\lambda_0)} \right) = \sum_{i=1}^n \left( X_i \ln \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_0} \right) - (\lambda_1 - \lambda_0) \right). $$ \textbf{Критерий отношения правдоподобия} Для проверки $H_0$ против $H_1$ используется сумма наблюдений $T = \sum_{i=1}^n X_i$. Критерий принимает $H_1$, если: $$ T > k, $$ где $k$ определяется как: $$ k = \text{qpois}(1 - \alpha, n\lambda_0). $$ \textbf{Смена гипотез} Если поменять местами гипотезы, новая нулевая гипотеза $H_0 : \lambda = \lambda_1$, а альтернатива $H_1 : \lambda = \lambda_0$. В этом случае критерий принимает $H_0$, если: $$ T < k', $$ где $k'$ определяется как: $$ k' = \text{qpois}(\alpha, n\lambda_1). $$ Сумма наблюдений: $T_{obs} = 98$ Порог для $H_0: \lambda = 2.00$: $k = 121$ Порог для $H_0: \lambda = 4.00$: $k' = 172$ Проверка $H_0: \lambda = 2.00$ vs $H_1: \lambda = 4.00$: Не отклоняем $H_0: T_{obs} = 98 \leq 121$ Проверка $H_0: \lambda = 4.00$ vs $H_1: \lambda = 2.00$: Отклоняем $H_0: T_{obs} = 98 < 172$ \newpage \section{Задание 2} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2.png} \end{figure} \subsection{Пункт a} \textbf{1. Вариационный ряд} Вариационный ряд: 0.0, 0.03, 0.06, 0.06, 0.07, 0.1, 0.11, 0.12, 0.12, 0.15, 0.17, 0.18, 0.24, 0.24, 0.29, 0.31, 0.36, 0.49, 0.49, 0.5, 0.53, 0.57, 0.59, 0.67, 0.85, 1.02, 1.11, 1.17, 1.31, 1.31, 2.37, 2.44, 2.58, 2.77, 2.98, 3.03, 3.13, 3.34, 3.57, 3.96, 4.55, 6.5, 6.72, 6.84, 8.33, 9.25, 11.4, 11.83, 14.94, 15.68 \textbf{2. Эмпирическая функция распределения (ЭФР)} $$ \hat{F}_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{\textbf{1}}_{\{X_i \leq x\}}, $$ где $n$ — объем выборки. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_1.png} \end{figure} \newpage \textbf{3. Гистограмма частот} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_2.png} \end{figure} \newpage \subsection{Пункт b} \textbf{1. Выборочное среднее (математическое ожидание)} Выборочное среднее — оценка теоретического математического ожидания. $$ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = 2.79 $$ \textbf{2. Выборочная дисперсия} Несмещённая оценка дисперсии: $$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 = 15.59 $$ Смещенная оценка дисперсии: $$ s^2_{\text{смещенная}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 = 15.28 $$ где: - $ n $ — общее количество наблюдений, - $X_i$ — каждое отдельное наблюдение, - $\bar{X}$ — среднее значение выборки. \textbf{3. Медиана} Значение, разделяющее выборку на две равные части. $$ \text{Медиана} = 0.94 $$ \textbf{4. Ассиметрия} $$ Skewness = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^3}{s^3} = 1.85 $$ \textbf{5. Эксцесс} $$ Kurtosis = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^4}{s^4} - 3 = 2.66 $$ \textbf{6. Вероятность $P(X \in [0.00, 4.62])$} Эмпирическая оценка вероятности: $$ P(X \in [c, d]) = \frac{\text{число элементов выборки} \in [c, d]}{n}. $$ $$ P(X \in [0.0, 4.62]): 0.82 $$ \subsection{Пункт c} \textbf{1. Оценка максимального правдоподобия (ОМП)} Функция правдоподобия для показательного распределения: $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} $$ Логарифмируя, получаем: $$ \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i $$ Дифференцируя по $\lambda$ и приравнивая к нулю: $$ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 $$ Отсюда получаем ОМП: $$ \hat{\lambda}{\text{ОМП}} = \frac{n}{\sum{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\bar{X}} $$ ОМП для $\lambda$: 0.3586 \textbf{2. Оценка по методу моментов (ОММ)} Для показательного распределения математическое ожидание равно $E[X] = \frac{1}{\lambda}$. Приравнивая теоретическое математическое ожидание к выборочному: $$ \frac{1}{\lambda} = \bar{X} \Rightarrow \hat{\lambda}{\text{ММ}} = \frac{1}{\bar{X}} $$ ОММ для $\lambda$: 0.3586 \textbf{3. Смещение оценок} Для показательного распределения ОМП и ОММ совпадают. Найдём смещение: $$ \text{Смещение}(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda $$ Для показательного распределения: $$ E[\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}] = E\left[\frac{1}{\bar{X}}\right] \neq \frac{1}{E[\bar{X}]} = \lambda $$ Оценка $\hat{\lambda}_{\text{ОМП}}$ является смещённой, но асимптотически несмещённой. Смещение MLE: 0.0073 \subsection{Пункт d} Для построения асимптотического доверительного интервала используем тот факт, что ОМП асимптотически нормальна с дисперсией: $$ \text{Var}(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{n} $$ Доверительный интервал уровня значимости $\alpha_2$ имеет вид: $$ \hat{\lambda} \pm z_{1-\alpha_2/2} \cdot \frac{\hat{\lambda}}{\sqrt{n}} $$ где $z_{1-\alpha_2/2}$ — квантиль стандартного нормального распределения. Квантиль $z_{1-\alpha_2/2} = 1.6449$ Доверительный интервал (90.0\%): (0.2752, 0.4420) \subsection{Пункт e} Критерий Колмогорова основан на статистике: $$ D_n = \sup_x |F_n(x) - F(x)| $$ где $F_n(x)$ — эмпирическая функция распределения, $F(x)$ — теоретическая функция распределения. Для показательного распределения с параметром $\lambda_0$: $$ F(x) = 1 - e^{-\lambda_0 x}, \quad x \geq 0 $$ Критерий Колмогорова-Смирнова: Статистика $D_n$: 0.2831, Критическое значение: 0.1725 P-value: 0.0005 Гипотеза отвергается \subsection{Пункт f} Критерий $\chi^2$ основан на сравнении наблюдаемых и ожидаемых частот в интервалах: $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ где $O_i$ — наблюдаемая частота в $i$-м интервале, $E_i$ — ожидаемая частота. $\chi^2$ статистика: 14.4669 Критическое значение ($\alpha=0.1$): 6.2514 p-значение: 0.002334 Степени свободы: 3 Гипотеза отвергается на уровне 0.1 \subsection{Пункт g} Критерий $\chi^2$ для проверки сложной гипотезы При проверке сложной гипотезы параметр $\lambda$ оценивается по выборке: Оценка $\lambda$: 0.3586 Критерий $\chi^2$ для сложной гипотезы: Статистика $\chi^2$: 10.9186 Критическое значение ($\alpha=0.1$): 4.6052 p-значение: 0.0043 Степени свободы: 2 Гипотеза отвергается на уровне 0.1 Таблица частот: [0.00, 1.40): O=30, E=19.74 [1.40, 2.80): O=4, E=11.95 [2.80, 4.20): O=6, E=7.23 [4.20, 16.80): O=10, E=10.97 \subsection{Пункт h} Для проверки простой гипотезы $H_0: \lambda = \lambda_0$ против альтернативы $H_1: \lambda = \lambda_1$ наиболее мощный критерий основан на отношении правдоподобия: $$ \Lambda = \frac{L(\lambda_0)}{L(\lambda_1)} = \frac{\lambda_0^n e^{-\lambda_0 \sum_{i=1}^{n} x_i}}{\lambda_1^n e^{-\lambda_1 \sum_{i=1}^{n} x_i}} = \left(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\right)^n e^{-(\lambda_0-\lambda_1) \sum_{i=1}^{n} x_i} $$ Логарифмируя: $$ \ln \Lambda = n \ln\left(\frac{\lambda_0}{\lambda_1}\right) - (\lambda_0-\lambda_1) \sum_{i=1}^{n} x_i $$ Критическая область имеет вид $\ln \Lambda < c$, где $c$ определяется уровнем значимости $\alpha_2$. Критическая область: $sum \, data > 179.54$ Сумма данных: 139.43 Решение: Не отвергаем $H_0$ При замене гипотез местами: Критическая область: $sum \, data < 294.14$ Решение: Отвергаем $H_0$ \end{document}