Реферат по ГА

presentation/report/.gitignore

@@ -0,0 +1,6 @@
+*
+
+!.gitignore
+!**/
+!img/*
+!*.tex

presentation/report/ГА. Реферат. Тищенко.tex

@@ -0,0 +1,580 @@
+\documentclass[a4paper, final]{article}
+%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
+\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
+\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
+\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
+\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
+\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
+\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
+\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{afterpage}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{float}
+
+
+
+% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
+\usepackage{pdflscape}
+% \usepackage{lscape}
+
+\usepackage{array}
+\usepackage{multirow}
+
+\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
+\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
+\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
+\usepackage{listings} %листинги
+\usepackage{xcolor} % цвета
+\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
+\usepackage{enumitem} %для перечислений
+
+\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
+
+
+\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
+
+\hypersetup{colorlinks,
+    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
+
+% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
+\lstloadlanguages{ SQL}
+% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
+\lstset{tabsize=2,
+    breaklines,
+    basicstyle=\footnotesize,
+    columns=fullflexible,
+    flexiblecolumns,
+    numbers=left,
+    numberstyle={\footnotesize},
+    keywordstyle=\color{blue},
+    inputencoding=cp1251,
+    extendedchars=true
+}
+\lstdefinelanguage{MyC}{
+    language=SQL,
+%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
+%    identifierstyle=\color{black},
+%    morecomment=[n]{/**}{*/},
+%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
+%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
+%    morestring=[b]",
+%    showstringspaces=false,
+%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
+    keepspaces=true,
+    escapechar=\%,
+    texcl=true
+}
+
+\textheight=24cm % высота текста
+\textwidth=16cm % ширина текста
+\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
+\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
+\parindent=24pt % абзацный отступ
+\parskip=5pt % интервал между абзацами
+\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
+\flushbottom % выравнивание высоты страниц
+
+
+% Настройка листингов
+\lstset{
+    language=python,
+    extendedchars=\true,
+    inputencoding=utf8,
+    keepspaces=true,
+    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
+}
+
+\begin{document} % начало документа
+    
+
+
+    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
+    \begin{center}
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
+            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
+        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
+        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
+        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
+        
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \large{Реферат по дисциплине}\\
+        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
+        \large{<<Планирование пути робота>>}\\
+        
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+    \end{center}
+    
+    \small{ 
+        \begin{tabular}{lrrl}
+            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
+            \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
+            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
+            &&\hspace{4cm}
+        \end{tabular}
+        \begin{flushright}
+            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
+        \end{flushright}
+    }
+    
+    \hfill \break
+    % \hfill \break
+    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
+    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
+    
+    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
+    \newpage
+    
+    \tableofcontents
+
+
+    \newpage
+    
+    \section*{Введение}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Введение}
+    Планирование пути мобильного робота — это задача построения коллизие-свободной траектории из начальной точки в целевую в присутствии препятствий и ограничений среды. Актуальность задачи обусловлена широким спектром приложений: от автономной логистики и сельского хозяйства до роботизированной инспекции и сервисной робототехники. Традиционные графовые методы (Дейкстра, A*) обеспечивают точный поиск на известных картах, однако их эффективность снижается при росте размерности, наличии динамики и сложных ограничений. Эволюционные подходы, в частности генетические алгоритмы (ГА), предоставляют гибкую эвристическую альтернативу, позволяя естественно учитывать несколько критериев качества и штрафы за нарушения ограничений.
+
+    Цель работы — исследовать применение ГА для планирования пути на дискретном представлении среды (grid) и в параметризации траекторий через направления движения (угловое кодирование), а также сравнить различные способы кодирования хромосом и их влияние на качество маршрутов и вычислительные затраты.
+    
+    В работе:
+    \begin{itemize}
+      \item кратко рассмотрена классификация алгоритмов планирования пути по характеру среды (статическая/динамическая), принципу (глобальные/локальные) и полноте (точные/эвристические);
+      \item формализована фитнесс-функция с учётом длины пути и штрафов за пересечение препятствий, а для углового кодирования — с дополнительными слагаемыми за число поворотов;
+      \item изучены три варианта grid-кодирования узлов пути (двоичное, десятичное, упорядоченное) и угловое кодирование с 4 и 8 направлениями движения;
+      \item проведены эксперименты в статических сценах и сценарии с поэтапным появлением новых препятствий (offline/online-перепланирование);
+      \item сопоставлены метрики: длина маршрута, число поколений и время решения.
+    \end{itemize}
+    
+    Полученные результаты демонстрируют применимость ГА к задачам планирования как в статических, так и в динамически меняющихся средах, а также выявляют влияние выбора представления пути на качество и стоимость поиска.
+    
+
+    \newpage
+    \section{Постановка задачи}
+    Планирование пути робота -- вычисление пути, свободного от столкновений, от начальной позиции до конечной
+    среди множества препятствий
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/task.png}
+       \caption{Задача планирования пути}
+       \label{fig:task}
+    \end{figure}
+
+    \newpage
+    \section{Классификация алгоритмов планирования пути}
+    На схеме \ref{fig:classification} показана классификация алгоритмов планирования пути. 
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=1\linewidth]{img/classification.png}
+        \caption{Классификация алгоритмов планирования пути}
+        \label{fig:classification}
+     \end{figure}
+
+    Алгоритмы планирования пути можно классифицировать по трём главным признакам:
+
+    \begin{itemize}
+        
+        \item По характеру среды (based on environment)
+        
+        \begin{itemize}
+
+        \item \textbf{Статические (Static)}
+  Используются, когда карта среды известна заранее и не меняется. Все препятствия заранее заданы, и алгоритм строит маршрут до старта движения.
+  Пример: классические алгоритмы поиска пути на графе (A*, Дейкстра).
+
+        \item \textbf{Динамические (Dynamic)}
+  Применяются в условиях, где препятствия могут появляться или перемещаться во время движения робота. Алгоритм должен уметь перестраивать путь «на лету» (онлайн-планирование).
+  Пример: D* Lite, Anytime Repairing A*, алгоритмы на основе предсказаний и реактивного управления.
+  \end{itemize}
+
+
+        \item По принципу алгоритма (based on algorithm)
+
+        \begin{itemize}
+        \item \textbf{Глобальные (Global)}
+  Предполагают знание полной карты окружающей среды. Алгоритм ищет оптимальный путь целиком от старта до цели.
+  Пример: A*, Дейкстра, волновой алгоритм (Wavefront).
+
+        \item \textbf{Локальные (Local)}
+  Робот строит путь только на основе данных с датчиков «здесь и сейчас». Такие методы хорошо работают в неизвестных или частично известных средах.
+  Пример: Bug Algorithms, Potential Fields, Dynamic Window Approach.
+
+        \end{itemize}
+
+        \item По полноте поиска (based on completeness)
+
+        \begin{itemize}
+        \item \textbf{Точные (Exact)}
+  Гарантируют нахождение решения (если оно существует), а также могут обеспечить оптимальность. Но часто требуют много вычислительных ресурсов.
+  Пример: алгоритм Дейкстры, точный A*.
+
+        \item \textbf{Эвристические (Heuristic)}
+  Используют приближённые методы и эвристики для ускорения поиска. Решение находится быстрее, но не всегда оптимальное.
+  Пример: эвристический A*, эволюционные методы (генетические алгоритмы, рой частиц, муравьиные алгоритмы).
+
+        \end{itemize}
+
+\end{itemize}
+
+
+
+    \newpage
+    \section{Генетические алгоритмы для построения пути}
+    Для решения произвольной задачи с помощью ГА необходимо определить: 
+
+    \begin{itemize}
+        \item особь и популяцию;
+        \item генетические операторы;
+        \item фитнесс функцию;
+        \item параметры ГА.
+    \end{itemize}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/genalg.png}
+       \caption{Составляющие ГА}
+       \label{fig:genalg}
+    \end{figure}
+
+    \subsection{Grid-кодирование пути}
+
+    \subsubsection*{Кодирование хромосом}
+    Рассмотрим часто используемое на практике представление окружения робота в виде «решетки» -- сетки
+    (grid).
+    Для представления окружения используется:
+    \begin{itemize}
+        \item двоичное;
+        \item десятичное;
+        \item упорядоченное кодирование;
+    \end{itemize}
+    показанное на рисунке \ref{fig:grid} (белые клетки--свободное пространство, серые -- препятствия).
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/grid.png}
+        \caption{Grid-кодирование пути}
+        \label{fig:grid}
+     \end{figure}
+
+    Тогда хромосома (особь популяции) представляет потенциальное решение -
+    Путь от начальной точки S (левый верхний угол) до конечной точки- цели T (правый нижний угол)
+    Хромосома (путь робота) содержит начальную и конечную вершины графа, представляющего решетку, а
+    также вершины, пересекаемые роботом
+    Эти вершины (или шаги) называются генами хромосомы.
+    Различные методы кодирования используются для хромосомы, в зависимости от формы представления
+    окружения:
+
+    \newpage
+    \begin{enumerate}
+        \item Двоичное кодирование – содержит двоичные коды номеров строк и столбцов (координаты x,y)
+        «узловых» вершин пути.
+        \begin{figure}[h!]
+           \centering
+           \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/binary.png}
+           \caption{Двоичное кодирование}
+           \label{fig:binary}
+        \end{figure}
+        \item Десятичное кодирование – содержит десятичные номера строк и столбцов (координаты x,y)
+        «узловых» вершин пути.
+        \begin{figure}[h!]
+           \centering
+           \includegraphics[width=0.45\linewidth]{img/decimal.png}
+           \caption{Десятичное кодирование}
+           \label{fig:decimal}
+        \end{figure}
+        \item Упорядоченное кодирование - содержит номера(в общем порядке ячеек - вершин) проходимых
+        «узловых» вершин пути.
+        \begin{figure}[h!]
+           \centering
+           \includegraphics[width=0.4\linewidth]{img/ordered.png}
+           \caption{Упорядоченное кодирование}
+           \label{fig:ordered}
+        \end{figure}
+    \end{enumerate}
+ 
+
+    \subsubsection*{Инициализация популяции}
+    Выполняется случайно
+    При этом некоторые построенные хромосомы соответствуют нереализуемым путям, которые пересекают
+    препятствия
+    В таблице представлены экспериментальные данные по генерации начальной популяции
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/table.png}
+       \caption{Таблица экспериментальных данных}
+       \label{fig:table}
+    \end{figure}
+
+    Далее находятся оптимальные или близкие к оптимальным решения (пути роботов), даже если начальная
+    популяция содержит нереализуемые решения 
+
+    \subsubsection*{Фитнесс функция}
+    Целью планирования пути является построение пути робота между начальной и конечной точками.
+    Оптимальный путь должен иметь минимальную длину, время и минимальные энергозатраты.
+    Прежде всего, минимизируется длина пути.
+    Поэтому все эволюционные методы построения пути включают в фитнесс-функцию длину пути робота,
+    которая может быть определена следующим образом.
+
+    Здесь $P_i$
+    - i-й ген хромосомы $P$ , $d$ - расстояние между 2-мя узлами.
+    Фитнесс-функция для реализуемых путей определяется как сумма расстояний между узлами пути.
+    Заметим, что для нереализуемых путей (имеющих пересечения с препятствия) фитнесс-функция имеет
+    дополнительную штрафную функцию. Если между узлами встречается препятствие, то в фитнессфункцию добавляется штраф.
+    Для поиска пути робота используется классический ГА.
+    На последнем шаге итерации (поколения) в соответствии с вычисленными значениями фитнесс-функции
+    отбираются хромосомы для производства потомков с помощью генетических операторов кроссинговера
+    и мутации.
+    Для выбора родителей применяется ранговый отбор
+
+    \begin{equation}
+        f = 
+        \begin{cases}
+        \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} d(p_i, p_{i+1}), & \text{для допустимых путей (без столкновений)}, \\[1.5ex]
+        \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} d(p_i, p_{i+1}) + \text{штраф}, & \text{для недопустимых путей}.
+        \end{cases}
+    \end{equation}
+    
+    \begin{equation}
+    d(p_i, p_{i+1}) = \sqrt{(x_{(i+1)} - x_i)^2 + (y_{(i+1)} - y_i)^2},
+    \end{equation}
+    где $p_i = (x_i, y_i)$ — координаты $i$-й вершины пути.
+        
+
+    \subsubsection*{Генетические операторы}
+    Для генерации потомков используется обычный 1-точечный кроссинговер с заданной вероятностью $P_c$.
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/crossover.png}
+        \caption{Одноточечный кроссинговер}
+        \label{fig:crossover}
+     \end{figure}
+
+    Пример на Рис.~\ref{fig:crossover} показывает кроссинговер для упорядоченного кодирования хромосом.
+
+    Далее к потомкам (каждому гену) с малой вероятностью $P_m$ применяется оператор мутации, который вносит
+    небольшое изменение в ген в зависимости от способа кодирования.
+    Мутация расширяет пространство поиска и препятствует преждевременной сходимости в локальном
+    экстремуме
+
+    \subsubsection*{Эксперименты}
+
+    \textbf{Эксперимент 1.} Построение пути проводилось в следующем окружении (сетка 16х16) с 8
+препятствиями с использованием указанных выше методов кодирования хромосом.
+
+    Параметры ГА:
+    \begin{itemize}
+        \item Мощность популяции $N=60$;
+        \item Вероятности: кроссинговера $P_c=1.0$, мутации $P_m=0.1$
+    \end{itemize}
+    После 10 запусков ГА для каждого метода получены средние значения расстояния, число поколений и
+    время решения, которые представлены на 
+    Рис.~\ref{fig:table1}.
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.45\linewidth]{img/experiment1.png}
+        \caption{Эксперимент 1}
+        \label{fig:experiment1}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/table1.png}
+        \caption{Таблица эксперимента 1}
+        \label{fig:table1}
+    \end{figure}
+
+    \newpage
+    \textbf{Эксперимент 2.} Эксперимент 2 для окружения с 7 препятствиями. Параметры ГА те же.
+
+    Данные для различных методов кодирования представлены на рисунке \ref{fig:table3}. Видно, что десятичное и упорядоченное кодирование показывают лучшие результаты.
+     
+    \begin{figure}[h!]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.45\linewidth]{img/experiment2.png}
+    \caption{Эксперимент 2}
+    \label{fig:experiment2}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/table2.png}
+    \caption{Таблица эксперимента 2}
+    \label{fig:table2}
+    \end{figure}
+
+    
+
+
+    \subsection{Угловое кодирование пути}
+
+    \subsubsection*{Кодирование хромосом}
+
+    Для кодирования пути робота эволюционные методы используют различные методы.
+    Альтернативным рассмотренному ранее кодированию (узлов) вершин проходимого пути,
+    является кодирование на основе углов направлений движения робота.
+    Это можно сделать по-разному (с различной точностью).
+    На Рис.~\ref{fig:angle} представлены 2 варианта кодирования направлений движения:
+
+    а) 4 направления - робот может передвигаться по горизонталям и вертикалям.
+
+    б) 8 направлений- робот может передвигаться также по диагоналям.
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/angle.png}
+       \caption{Для кодирования направлений используются целые числа:\\ а) (0,1,2,3), либо
+       б) (0,1,2,3,4,5,6,7)}
+       \label{fig:angle}
+    \end{figure}
+
+
+    Тогда каждый ген в хромосоме представляет направление движения робота на следующем
+    шаге.
+
+    В этом случае хромосома (см. Рис.~\ref{fig:angle_chromosome}) представляет «коллекцию» направлений движения робота в каждой
+    точке, начиная от старта, и кончая финалом.
+    
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/angle_chromosome.png}
+       \caption{Хромосома с угловым кодированием пути. D – целое число, определяющее направление движения на следующем шаге.}
+       \label{fig:angle_chromosome}
+    \end{figure}
+
+    \subsubsection*{Фитнесс-функция}
+
+    Фитнесс-функция в задаче планирования пути робота определяется следующим образом:
+    
+    \begin{equation}
+    \text{Cost}(P) = w_1 D + w_2 O + w_3 C,
+    \end{equation}
+    
+    где:  
+    \begin{itemize}
+        \item $w_1, w_2, w_3$ -- коэффициенты (константы), задающие вклад каждой компоненты;
+        \item $D$ -- расстояние (длина) пути;
+        \item $O$ -- число пересекаемых ячеек препятствий;
+        \item $C$ -- число изменений направлений движения.
+    \end{itemize}
+    
+    Особь (маршрут) с минимальным значением фитнесс-функции соответствует оптимальному пути.  
+    Очевидно, что увеличение числа изменений направления приводит к увеличению времени движения, 
+    а каждое пересечение препятствия сопровождается значительным штрафом.
+    
+
+    \subsubsection*{Эксперименты}
+
+    \textbf{Эксперимент 1}. Метод апробирован на различного типа препятствиях с разным числом направлений движений (4 или 8).
+    Начальная точка -- (0,0). Конечная точка -- (15, 9).
+    В 1-м эксперименте использовались только статические препятствия.
+
+    На Рис.~\ref{fig:angle_experiment1}-\ref{fig:angle_experiment2} представлены результаты для 2- вариантов направлений движений(4 или 8), которые показывают способность ГА решать данную проблему.
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/angle_experiment1.png}
+       \caption{Загроможденные препятствия. \\ (a) 4 направления, (b) 8 направлений}
+       \label{fig:angle_experiment1}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/angle_experiment2.png}
+        \caption{Региональные препятствия. \\ (c) 4 направления, (d) 8 направлений}
+        \label{fig:angle_experiment2}
+     \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/angle_experiment3.png}
+        \caption{Препятствия окружают конечную точку. \\ (e) 4 направления, (f) 8 направлений}
+        \label{fig:angle_experiment3}
+     \end{figure}
+
+
+    \newpage
+    \textbf{Эксперимент 2.} Динамическую систему поиска пути можно разделить на две компоненты.
+    
+    \begin{itemize}
+        \item Ищем маршрут по заранее заданной карте ещё до запуска робота (offline компонента).
+        \item Если робот встретил новые препятствия, которых не было в исходной карте, то запускается новый алгоритм поиска с актуальной точки (online компонента).
+    \end{itemize}
+    
+    Сначал генетический алгоритм был запущен для статической среды (см.~Рис.~\ref{fig:static}).
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/static.png}
+       \caption{Запуск для статической среды (offline компонента)}
+       \label{fig:static}
+    \end{figure}
+
+    \newpage
+    И далее добавлялись (случайно) 1 препятствие (см. Рис.~\ref{fig:obstacle1}).
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/obstacle1.png}
+       \caption{Обновлённый путь после добавления ещё одного препятствия.}
+       \label{fig:obstacle1}
+    \end{figure}
+
+    И ещё одно препятствие (см. Рис.~\ref{fig:obstacle2}).
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/obstacle2.png}
+       \caption{Обновлённый путь после добавления второго препятствия.}
+       \label{fig:obstacle2}
+    \end{figure}
+
+
+     
+    \newpage
+    % ---------- ЗАКЛЮЧЕНИЕ ----------
+    \section*{Заключение}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
+
+    В работе рассмотрено применение генетических алгоритмов к задаче планирования пути робота на дискретной карте и в форме углового (направленного) кодирования. Показано, что:
+    \begin{enumerate}
+    \item Для grid-представления десятичное и упорядоченное кодирование обеспечивают в среднем более короткие пути и/или меньшее время поиска по сравнению с двоичным кодированием при сопоставимых параметрах ГА (\(N=60\), \(P_c=1.0\), \(P_m=0.1\)).
+    \item Угловое кодирование с 8 направлениями, как правило, даёт более гибкие и короткие траектории, чем с 4 направлениями, однако требует контроля числа поворотов (штраф \(C\)) для предотвращения «ломаных» маршрутов.
+    \item В динамическом сценарии поэтапное появление препятствий эффективно обрабатывается за счёт online-перепланирования: повторный запуск ГА из текущего положения восстанавливает коллизие-свободный путь без полной переразметки карты.
+    \end{enumerate}
+
+    Ограничения подхода включают чувствительность к настройкам операторов и вероятностей, риск преждевременной сходимости и вычислительные затраты при частых проверках коллизий. 
+
+    ГА представляют собой практичный и переносимый инструмент планирования пути в условиях неопределённости и динамики, при этом выбор кодирования и архитектуры фитнесс-функции критически влияет на компромисс между качеством траектории и затратами вычислений.
+
+
+
+\newpage
+\section*{Список литературы}
+\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
+
+\vspace{-1.5cm}
+\begin{thebibliography}{0}
+    \bibitem{skobtsov} М.В. Прохоров, Ю.А. Скобцов. Многокритериальный генетический алгоритм построения пути робота в сложной среде. — Санкт-Петербург: СПбПУ, 2016. — 36с.
+
+    \bibitem{matveeva} Матвеева А.В. Оптимизация построения маршрута с помощью генетического алгоритма // Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, 2022. — С. 10–12.
+\end{thebibliography}
+
+\end{document}