\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}
\usepackage{xcolor}




% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №6}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Реализовать с использованием муравьиных алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
        \item Представить графически найденное решение
        \item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением и результатами, полученными в лабораторной работе №3.
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
       \caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
       \label{fig:optimal_tour}
    \end{figure}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    \subsection{Общие сведения о муравьиных алгоритмах}
    
    Муравьиные алгоритмы (МА) относятся к метаэвристическим методам оптимизации и предназначены преимущественно для решения задач комбинаторной оптимизации, в частности задачи поиска оптимальных путей на графах. Основная идея таких алгоритмов основана на моделировании коллективного поведения реальных муравьёв, использующих феромонные следы для обмена информацией.
    
    Каждый агент, называемый \textit{искусственным муравьём}, поэтапно строит решение задачи, перемещаясь по графу и выбирая следующую вершину на основе вероятностного правила, учитывающего концентрацию феромона на дугах графа. Феромон отражает привлекательность соответствующих маршрутов: чем выше его концентрация на дуге, тем вероятнее выбор этой дуги муравьём.
    
    \subsection{Простой муравьиный алгоритм (SACO)}
    
    Для иллюстрации рассмотрим простой муравьиный алгоритм SACO (Simple Ant Colony Optimization). Пусть задан граф 
    \[
    G = (V, E),
    \] 
    где $V$ — множество вершин, $E$ — множество рёбер. Каждой дуге $(i,j)$ сопоставлена величина феромона $\tau_{ij}$.
    
    В начальный момент концентрация феромона обычно принимается нулевой, однако для предотвращения зацикливания каждому ребру присваивается малое случайное начальное значение $\tau_{ij}^{(0)}$.
    
    Каждый муравей $k=1,\ldots,n_k$ помещается в стартовую вершину и начинает построение пути. Если муравей находится в вершине $i$, он выбирает следующую вершину $j \in N_i^k$ на основе вероятностного правила
    \[
    p_{ij}^k(t) = \frac{\tau_{ij}^\alpha(t)}{\sum\limits_{l \in N_i^k} \tau_{il}^\alpha(t)},
    \]
    где $\alpha$ — параметр, определяющий степень влияния феромона.
    
    При отсутствии допустимых переходов допускается возврат в предыдущую вершину, что приводит к появлению петель, которые впоследствии удаляются.
    
    После завершения построения полного пути $x_k(t)$ выполняется его оценка. Длина пути обозначается как $L_k(t)$ и равна числу пройденных дуг.
    
    \subsection{Обновление феромона}
    
    Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути согласно правилу
    \[
    \Delta \tau_{ij}^k(t) =
    \begin{cases}
    \frac{1}{L_k(t)}, &\text{если дуга } (i,j) \in x_k(t), \\
    0, &\text{иначе}.
    \end{cases}
    \]
    
    Общее обновление феромона на дуге $(i,j)$:
    \[
    \tau_{ij}(t+1) = \tau_{ij}(t) + \sum_{k=1}^{n_k} \Delta\tau_{ij}^k(t).
    \]
    
    Чем короче путь, тем больше феромона откладывается на его рёбрах, что повышает вероятность выбора коротких маршрутов в последующих итерациях.
    
    \subsection{Испарение феромона}
    
    Чтобы предотвратить преждевременную сходимость алгоритма к локальным минимумам, применяется механизм \textit{искусственного испарения феромона}. На каждом шаге выполняется:
    \[
    \tau_{ij}(t) = (1 - \rho)\,\tau_{ij}(t),
    \]
    где $\rho \in [0,1]$ — коэффициент испарения. Большие значения $\rho$ усиливают случайность поиска, малые — повышают устойчивость к изменениям.
    
    \subsection{Критерии остановки алгоритма}
    
    Муравьиные алгоритмы могут завершаться при выполнении одного из условий:
    \begin{itemize}
        \item достигнуто максимальное число итераций;
        \item найдено решение приемлемого качества $f(x_k(t)) \leq \varepsilon$;
        \item все муравьи начинают строить одинаковые маршруты, что говорит о стабилизации процесса.
    \end{itemize}
    
    \subsection{Описание общего алгоритма}
    
    Алгоритм SACO можно представить в следующем виде:
    
    \begin{enumerate}
        \item Инициализация феромона малыми случайными значениями $\tau_{ij}^{(0)}$.
        \item Размещение всех муравьёв в начальной вершине.
        \item Для каждой итерации:
        \begin{enumerate}
            \item Каждый муравей строит путь согласно вероятностному правилу выбора вершины.
            \item Выполняется удаление петель.
            \item Вычисляется длина пути $L_k(t)$.
        \end{enumerate}
        \item Выполняется испарение феромона.
        \item Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути.
        \item Итерация продолжается до выполнения критерия остановки.
    \end{enumerate}
    
    Муравьиные алгоритмы позволяют эффективно находить приближённые решения задач комбинаторной оптимизации, таких как задача коммивояжёра, что и является целью данной лабораторной работы.
    


    \newpage
    \section{Особенности реализации}

    Код решения собран в модуле \texttt{lab6/aco.py}. Реализация использует объектно-ориентированный подход с явной типизацией через современные аннотации типов Python (PEP 604). Ниже приведены ключевые элементы реализации с сигнатурами функций и пояснениями.

    \subsection{Структуры данных конфигурации и результата}
    Конфигурация алгоритма оформлена через \texttt{@dataclass} и включает все параметры, влияющие на поведение ACO:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
@dataclass
class ACOConfig:
    cities: Sequence[City]      # список координат городов
    n_ants: int                 # число муравьев
    n_iterations: int           # число итераций
    alpha: float = 1.0          # влияние феромона
    beta: float = 5.0           # влияние эвристики (1/расстояние)
    rho: float = 0.5            # коэффициент испарения
    q: float = 1.0              # константа для отложения феромона
    seed: int | None = None     # зерно ГСЧ (воспроизводимость)
\end{lstlisting}

    Результат работы алгоритма представлен структурой:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
@dataclass
class ACOResult:
    best_tour: Tour             # индексы городов в порядке обхода
    best_length: float          # длина лучшего маршрута
    history: List[float]        # история длин по итерациям
\end{lstlisting}

    \subsection{Класс AntColonyOptimizer и инициализация}
    Основная логика инкапсулирована в классе \texttt{AntColonyOptimizer}, который принимает конфигурацию при создании:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
class AntColonyOptimizer:
    def __init__(self, config: ACOConfig)
\end{lstlisting}

    В конструкторе выполняются следующие действия:
    \begin{itemize}
        \item инициализация генератора случайных чисел через \texttt{random.seed(config.seed)} для обеспечения воспроизводимости экспериментов;
        \item вычисление матрицы расстояний между всеми городами с помощью \texttt{build\_distance\_matrix};
        \item создание матрицы феромона размером $n \times n$, где все недиагональные элементы инициализируются единицами, а диагональные — нулями (для предотвращения самопереходов).
    \end{itemize}

    \subsection{Построение тура муравьём}
    Каждый муравей строит полный гамильтонов цикл, начиная со случайно выбранного стартового города. Ключевой метод выбора следующего города:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def _choose_next_city(self, current: int, 
                      unvisited: set[int]) -> int
\end{lstlisting}

    Метод реализует вероятностный выбор на основе формулы:
    \[
    p_{ij} = \frac{[\tau_{ij}]^\alpha \cdot [\eta_{ij}]^\beta}{\sum_{k \in \text{unvisited}} [\tau_{ik}]^\alpha \cdot [\eta_{ik}]^\beta}
    \]
    где $\tau_{ij}$ — уровень феромона на ребре $(i,j)$, а $\eta_{ij} = 1/d_{ij}$ — эвристическая привлекательность (обратная величина расстояния). К расстоянию добавляется малая константа $10^{-12}$ для численной стабильности при делении. Финальный выбор осуществляется через \texttt{random.choices} с вычисленными вероятностями.

    Построение полного тура выполняет метод:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def _build_tour(self, start: int) -> Tour
\end{lstlisting}
    Начиная со стартового города, муравей последовательно выбирает следующие непосещённые города до тех пор, пока множество \texttt{unvisited} не станет пустым.

    Вычисление длины построенного тура:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def _tour_length(self, tour: Sequence[int]) -> float
\end{lstlisting}
    Метод суммирует расстояния между последовательными городами в туре, включая замыкающее ребро от последнего города к первому, используя предвычисленную матрицу расстояний.

    \subsection{Основной цикл алгоритма}
    Главный метод запуска оптимизации:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def run(self) -> ACOResult
\end{lstlisting}

    На каждой из \texttt{n\_iterations} итераций выполняются следующие шаги:
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Построение туров}: каждый из \texttt{n\_ants} муравьёв создаёт свой маршрут, начиная со случайного города. Вычисляется длина каждого маршрута, и глобально лучший тур обновляется при обнаружении более короткого.
        \item \textbf{Испарение феромона}: все элементы матрицы феромона умножаются на $(1 - \rho)$, моделируя естественное испарение. Это предотвращает неограниченный рост концентрации феромона и позволяет алгоритму «забывать» плохие решения.
        \item \textbf{Отложение феромона}: для каждого муравья вычисляется вклад $\Delta\tau = q/L$, где $L$ — длина его маршрута. Этот вклад добавляется симметрично на оба направления каждого ребра в туре. Таким образом, короткие маршруты откладывают больше феромона.
        \item \textbf{Запись истории}: лучшая на данный момент длина добавляется в список \texttt{history} для последующего анализа сходимости.
    \end{enumerate}

    По завершении всех итераций метод возвращает \texttt{ACOResult} с лучшим найденным туром, его длиной и историей оптимизации.

    \subsection{Точка входа}
    Для удобства использования предоставлена функция верхнего уровня:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def run_aco(config: ACOConfig) -> ACOResult
\end{lstlisting}
    Она создаёт экземпляр оптимизатора и запускает алгоритм, возвращая результат.

    \subsection{Визуализация}
    Модуль включает две функции для визуализации результатов средствами \texttt{matplotlib}:

    Функция построения графика маршрута:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def plot_tour(cities: Sequence[City], tour: Sequence[int], 
              save_path: str) -> None
\end{lstlisting}
    Отображает города в виде точек и соединяет их ломаной линией в порядке обхода, включая возврат к начальной точке. Используется соотношение сторон \texttt{aspect="equal"} для сохранения геометрии, сетка для лучшей читаемости координат. Результат сохраняется в PNG с разрешением 220 DPI.

    Функция построения графика сходимости:
    \begin{lstlisting}[language=Python]
def plot_history(best_lengths: Sequence[float], 
                 save_path: str) -> None
\end{lstlisting}
    Строит линейный график изменения длины лучшего найденного тура по итерациям. Позволяет визуально оценить скорость сходимости и стабильность алгоритма.

    \newpage
    \section{Результаты работы}

    Алгоритм был запущен со следующими параметрами: 50 муравьёв, 50 итераций, $\alpha = 1{,}2$, $\beta = 5$, $\rho = 0{,}5$, $q = 1$. Лучший найденный тур имеет длину $6662{,}35$, что на $0{,}05\%$ отличается от оптимального значения 6659.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \begin{minipage}{0.48\linewidth}
           \centering
           \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/optimal_tour.png}
           \caption{Оптимальный маршрут длиной 6659}
           \label{fig:optimal_result}
       \end{minipage}\hfill
       \begin{minipage}{0.48\linewidth}
           \centering
           \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/aco_best_tour.png}
           \caption{Лучший маршрут, найденный муравьиным алгоритмом (6662{,}35)}
           \label{fig:aco_tour}
       \end{minipage}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/aco_history.png}
       \caption{Сходимость длины лучшего тура по итерациям}
       \label{fig:aco_history}
    \end{figure}

    \subsection{Сравнение с результатами лабораторной работы~№3}

    Для лабораторной работы №3 с генетическим алгоритмом лучший результат составил \textbf{6667{,}03} при популяции $N=500$, вероятностях $P_c=0{,}9$ и $P_m=0{,}5$. Муравьиный алгоритм показал более точное решение: длина тура \textbf{6662{,}35} против оптимального 6659. Разница с оптимумом составила 3{,}35 единицы (0{,}05\%), тогда как в лабораторной работе №3 отклонение было 8{,}03 (0{,}12\%).

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \begin{minipage}{0.48\linewidth}
           \centering
           \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/best_lab3.png}
           \caption{Лучший маршрут из лабораторной работы №3 (ГА): длина 6667{,}03}
           \label{fig:lab3_best}
       \end{minipage}\hfill
       \begin{minipage}{0.48\linewidth}
           \centering
           \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/aco_best_tour.png}
           \caption{Лучший маршрут лабораторной работы №6 (МА): длина 6662{,}35}
           \label{fig:lab6_best}
       \end{minipage}
    \end{figure}

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.43\linewidth]{img/optimal_tour.png}
       \caption{Оптимальный маршрут длиной 6659}
       \label{fig:optimal_comparison}
    \end{figure}

    \newpage
    \section{Ответ на контрольный вопрос}
    
    \textbf{Вопрос}: Какие критерии окончания могут быть использованы в простом МА?
    
    \textbf{Ответ}: В простом муравьином алгоритме могут использоваться следующие критерии завершения работы:
    
    \begin{itemize}
        \item окончание при превышении заданного числа итераций;
        \item окончание по достижению приемлемого решения;
        \item окончание в случае, когда все муравьи начинают следовать одним и тем же путём.
    \end{itemize}

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    В ходе шестой лабораторной работы выполнена реализация простого муравьиного алгоритма для задачи коммивояжёра:

    \begin{enumerate}
        \item Разработан модуль \texttt{aco.py} с конфигурацией алгоритма, построением туров, обновлением феромона и визуализацией результатов с помощью \texttt{matplotlib}.
        \item Проведён численный эксперимент на данных из варианта 18 (38 городов Джибути); подобраны параметры $\alpha=1{,}2$, $\beta=5$, $\rho=0{,}5$, 50 муравьёв, 400 итераций.
        \item Получено приближённое решение длиной 6662{,}35, что всего на 0{,}05\% хуже известного оптимума 6659 и лучше результата, достигнутого генетическим алгоритмом из лабораторной работы №3.
    \end{enumerate}


\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}