\documentclass[a4paper, final]{article}
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
\usepackage{tabularx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
\usepackage{tikz}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{afterpage}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}
\usepackage{xcolor}




% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
\usepackage{pdflscape}
% \usepackage{lscape}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}

\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
\usepackage{listings} %листинги
\usepackage{xcolor} % цвета
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
\usepackage{enumitem} %для перечислений

\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}


\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях

\hypersetup{colorlinks,
    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)

% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
\lstloadlanguages{ SQL}
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
\lstset{tabsize=2,
    breaklines,
    basicstyle=\footnotesize,
    columns=fullflexible,
    flexiblecolumns,
    numbers=left,
    numberstyle={\footnotesize},
    keywordstyle=\color{blue},
    inputencoding=cp1251,
    extendedchars=true
}
\lstdefinelanguage{MyC}{
    language=SQL,
%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
%    identifierstyle=\color{black},
%    morecomment=[n]{/**}{*/},
%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
%    morestring=[b]",
%    showstringspaces=false,
%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
    keepspaces=true,
    escapechar=\%,
    texcl=true
}

\textheight=24cm % высота текста
\textwidth=16cm % ширина текста
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
\parindent=24pt % абзацный отступ
\parskip=5pt % интервал между абзацами
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
\flushbottom % выравнивание высоты страниц


% Настройка листингов
\lstset{
    language=python,
    extendedchars=\true,
    inputencoding=utf8,
    keepspaces=true,
    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
}

\begin{document} % начало документа
    


    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \begin{center}
        \hfill \break
        \hfill \break
        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
        
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \hfill \break
        \large{Лабораторная работа №6}\\
        \large{по дисциплине}\\
        \large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
        \large{Вариант 18}\\
        
        % \hfill \break
        \hfill \break
    \end{center}
    
    \small{ 
        \begin{tabular}{lrrl}
            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
            \!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Большаков А. А. \\\\
            &&\hspace{4cm}
        \end{tabular}
        \begin{flushright}
            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
        \end{flushright}
    }
    
    \hfill \break
    % \hfill \break
    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
    
    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
    \newpage
    
    \tableofcontents

    \newpage
    \section {Постановка задачи}
    В данной работе были поставлены следующие задачи:

    \begin{itemize}
        \item Реализовать с использованием муравьиных алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
        \item Представить графически найденное решение
        \item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением и результатами, полученными в лабораторной работе №3.
    \end{itemize}

    \textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}

    \textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.

    \begin{figure}[h!]
       \centering
       \includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
       \caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
       \label{fig:optimal_tour}
    \end{figure}


    \newpage
    \section{Теоретические сведения}

    \subsection{Общие сведения о муравьиных алгоритмах}
    
    Муравьиные алгоритмы (МА) относятся к метаэвристическим методам оптимизации и предназначены преимущественно для решения задач комбинаторной оптимизации, в частности задачи поиска оптимальных путей на графах. Основная идея таких алгоритмов основана на моделировании коллективного поведения реальных муравьёв, использующих феромонные следы для обмена информацией.
    
    Каждый агент, называемый \textit{искусственным муравьём}, поэтапно строит решение задачи, перемещаясь по графу и выбирая следующую вершину на основе вероятностного правила, учитывающего концентрацию феромона на дугах графа. Феромон отражает привлекательность соответствующих маршрутов: чем выше его концентрация на дуге, тем вероятнее выбор этой дуги муравьём.
    
    \subsection{Простой муравьиный алгоритм (SACO)}
    
    Для иллюстрации рассмотрим простой муравьиный алгоритм SACO (Simple Ant Colony Optimization). Пусть задан граф 
    \[
    G = (V, E),
    \] 
    где $V$ — множество вершин, $E$ — множество рёбер. Каждой дуге $(i,j)$ сопоставлена величина феромона $\tau_{ij}$.
    
    В начальный момент концентрация феромона обычно принимается нулевой, однако для предотвращения зацикливания каждому ребру присваивается малое случайное начальное значение $\tau_{ij}^{(0)}$.
    
    Каждый муравей $k=1,\ldots,n_k$ помещается в стартовую вершину и начинает построение пути. Если муравей находится в вершине $i$, он выбирает следующую вершину $j \in N_i^k$ на основе вероятностного правила
    \[
    p_{ij}^k(t) = \frac{\tau_{ij}^\alpha(t)}{\sum\limits_{l \in N_i^k} \tau_{il}^\alpha(t)},
    \]
    где $\alpha$ — параметр, определяющий степень влияния феромона.
    
    При отсутствии допустимых переходов допускается возврат в предыдущую вершину, что приводит к появлению петель, которые впоследствии удаляются.
    
    После завершения построения полного пути $x_k(t)$ выполняется его оценка. Длина пути обозначается как $L_k(t)$ и равна числу пройденных дуг.
    
    \subsection{Обновление феромона}
    
    Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути согласно правилу
    \[
    \Delta \tau_{ij}^k(t) =
    \begin{cases}
    \frac{1}{L_k(t)}, &\text{если дуга } (i,j) \in x_k(t), \\
    0, &\text{иначе}.
    \end{cases}
    \]
    
    Общее обновление феромона на дуге $(i,j)$:
    \[
    \tau_{ij}(t+1) = \tau_{ij}(t) + \sum_{k=1}^{n_k} \Delta\tau_{ij}^k(t).
    \]
    
    Чем короче путь, тем больше феромона откладывается на его рёбрах, что повышает вероятность выбора коротких маршрутов в последующих итерациях.
    
    \subsection{Испарение феромона}
    
    Чтобы предотвратить преждевременную сходимость алгоритма к локальным минимумам, применяется механизм \textit{искусственного испарения феромона}. На каждом шаге выполняется:
    \[
    \tau_{ij}(t) = (1 - \rho)\,\tau_{ij}(t),
    \]
    где $\rho \in [0,1]$ — коэффициент испарения. Большие значения $\rho$ усиливают случайность поиска, малые — повышают устойчивость к изменениям.
    
    \subsection{Критерии остановки алгоритма}
    
    Муравьиные алгоритмы могут завершаться при выполнении одного из условий:
    \begin{itemize}
        \item достигнуто максимальное число итераций;
        \item найдено решение приемлемого качества $f(x_k(t)) \leq \varepsilon$;
        \item все муравьи начинают строить одинаковые маршруты, что говорит о стабилизации процесса.
    \end{itemize}
    
    \subsection{Описание общего алгоритма}
    
    Алгоритм SACO можно представить в следующем виде:
    
    \begin{enumerate}
        \item Инициализация феромона малыми случайными значениями $\tau_{ij}^{(0)}$.
        \item Размещение всех муравьёв в начальной вершине.
        \item Для каждой итерации:
        \begin{enumerate}
            \item Каждый муравей строит путь согласно вероятностному правилу выбора вершины.
            \item Выполняется удаление петель.
            \item Вычисляется длина пути $L_k(t)$.
        \end{enumerate}
        \item Выполняется испарение феромона.
        \item Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути.
        \item Итерация продолжается до выполнения критерия остановки.
    \end{enumerate}
    
    Муравьиные алгоритмы позволяют эффективно находить приближённые решения задач комбинаторной оптимизации, таких как задача коммивояжёра, что и является целью данной лабораторной работы.
    


    \newpage
    \section{Особенности реализации}

    === Нужно обновить раздел ===

    В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для решения задачи коммивояжёра (TSP) генетическим алгоритмом с путевым представлением хромосом. Второй модуль
    \texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
    форматирование и сохранение результатов).

    \begin{itemize}
        \item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома представлена как перестановка городов (\texttt{Chromosome = list[int]}), где каждый элемент -- индекс города. Популяция -- список хромосом (\texttt{Population = list[Chromosome]}). Инициализация случайными перестановками без повторений:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{initialize\_random\_population(pop\_size: int, cities: Cites) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Фитнесс-функция}: целевая функция принимает хромосому (маршрут) и возвращает скалярное значение фитнесса (длину пути). Для режима минимизации используется внутреннее преобразование при селекции (сдвиг и инверсия знака), что позволяет применять рулетку:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{eval\_population(population: Population, fitness\_func: FitnessFn) -> Fitnesses}
            \item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция:
        \texttt{reproduction(population: Population, fitnesses: Fitnesses) -> Population}.
        \item \textbf{Кроссинговер}: реализованы специализированные операторы для перестановок: PMX (Partially Mapped Crossover), OX (Ordered Crossover) и CX (Cycle Crossover). Кроссинговер выполняется попарно по перемешанной популяции с вероятностью $p_c$. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{partially\_mapped\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{ordered\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{cycle\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
            \item \texttt{crossover(population: Population, pc: float, crossover\_fn: CrossoverFn) -> Population}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Мутация}: реализованы три типа мутаций для перестановок: обмен двух городов (swap), инверсия сегмента (inversion), вырезка и вставка города (insertion). Мутация применяется с вероятностью $p_m$. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{swap\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{inversion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{insertion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
            \item \texttt{mutation(population: Population, pm: float, mutation\_fn: MutationFn) -> Population}
        \end{itemize}

        \item \textbf{Критерий остановки}: поддерживаются критерии по максимальному количеству поколений, повторению лучшего результата, достижению порогового значения фитнесса. Хранится история всех поколений. Проверка выполняется в функции:
        
        \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
        \item \textbf{Визуализация}: реализована отрисовка маршрутов обхода городов на плоскости с отображением лучшей особи поколения. Функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{plot\_tour(cities: list[tuple[float, float]], tour: list[int], ax: Axes)}
            \item \texttt{save\_generation(generation: Generation, history: list[Generation], config: GARunConfig)}
            \item \texttt{plot\_fitness\_history(result: GARunResult, save\_path: str | None) -> None}
        \end{itemize}
        \item \textbf{Элитизм}: поддерживается перенос лучших особей без изменения в следующее поколение (\texttt{elitism} параметр).
        \item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах как часть \texttt{GARunResult.time\_ms}.
        \item \textbf{Файловая организация}: результаты экспериментов сохраняются в структуре \texttt{experiments/N/} с таблицами результатов. Задействованные функции:
        \begin{itemize}
            \item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
            \item Функции для проведения экспериментов в модуле \texttt{expirements.py}
        \end{itemize}
    \end{itemize}

    В модуле \texttt{expirements.py} задаются координаты городов и параметры экспериментов.
    Серийные запуски и сохранение результатов реализованы для исследования влияния параметров ГА на качество решения задачи коммивояжёра.

    \newpage
    \section{Результаты работы}

    === Нужно обновить раздел ===

    На Рис.~\ref{fig:results} представлены результаты работы простого муравьиного алгоритма со следующими параметрами:
    \begin{itemize}
        \item $N = 500$ -- размер популяции.
        \item $p_c = 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
        \item $p_m = 0.3$ -- вероятность мутации.
        \item $2500$ -- максимальное количество поколений.
        \item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
        \item Partially mapped crossover - кроссовер.
        \item Inversion mutation - мутация
    \end{itemize}

    На Рис.~\ref{fig:fitness_history} показан график изменения фитнесса по поколениям. Видно, что алгоритм постепенно сходится к минимально возможному значению фитнеса. Лучший маршрут был найден на поколнении №1896 (см. Рис.~\ref{fig:lastgen}).

    % \begin{figure}[h!]
    %    \centering
    %    \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/fitness_history.png}
    %    \caption{График изменения фитнесса по поколениям}
    %    \label{fig:fitness_history}
    % \end{figure}

    \subsection{Сравнение с результатами лабораторной работы №3}

    === Нужно написать раздел, ниже представлена часть отчёта из лаб3, чтобы было с чем сравнить ===

    Наилучшее найденное решение составило \textbf{6667.03} при параметрах $N=500$, $P_c=0.9$, $P_m=0.5$ за 1644 поколения. Это всего на \textbf{0.12\%} хуже оптимального значения 6659, что демонстрирует высокую эффективность алгоритма. Наихудшие результаты показала конфигурация с $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.3$ (лучший фитнес 6796.98), что на 2.07\% хуже оптимума. Малый размер популяции в 10 особей оказался недостаточным для стабильного поиска качественных решений — более половины конфигураций при $N=10$ вообще не нашли решение за 2500 поколений.

    Наиболее быстрая конфигурация — $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.5$ — нашла решение за \textbf{201 мс} (503 поколения). Однако качество решения при таких параметрах нестабильно. Среди конфигураций с большой популяцией лучшее время показала $N=500$, $P_c=0.5$, $P_m=0.2$ — \textbf{5232 мс} (341 поколение), что является оптимальным балансом скорости и качества для больших популяций.

    С ростом размера популяции наблюдается явное улучшение качества решений: при $N=10$ лучший результат 6762.97, при $N=500$ — 6667.03. Одновременно количество необходимых поколений снижается (с 503 до 341), но общее время выполнения растет линейно из-за увеличения числа особей в каждом поколении. Этот эффект объясняется тем, что большая популяция обеспечивает большее генетическое разнообразие, позволяя алгоритму быстрее находить оптимальные решения.

    Что касается вероятности кроссовера, средние значения $P_c=0.6$--$0.8$ показывают стабильные результаты для всех размеров популяций. Экстремальные значения ($P_c=0.9$ или $1.0$) работают хорошо только при больших популяциях ($N \geq 100$), при малых — часто приводят к преждевременной сходимости (наблюдается много прочерков в таблицах). Это связано с тем, что высокая вероятность кроссовера при малой популяции быстро приводит к гомогенизации генофонда.

    Анализ влияния вероятности мутации показал, что низкие значения $P_m=0.05$ неэффективны для малых популяций — недостаточно разнообразия для выхода из локальных минимумов. Умеренные значения $P_m=0.2$--$0.5$ демонстрируют лучшие результаты, обеспечивая баланс между эксплуатацией найденных решений и исследованием нового пространства поиска. Высокое значение $P_m=0.8$ часто приводит к расхождению алгоритма, так как слишком сильные изменения разрушают хорошие решения быстрее, чем алгоритм успевает их найти (многие конфигурации не нашли решение за отведенное время).

    
    \newpage
    \section{Ответ на контрольный вопрос}
    
    \textbf{Вопрос}: Какие критерии окончания могут быть использованы в простом МА?
    
    \textbf{Ответ}: В простом муравьином алгоритме могут использоваться следующие критерии завершения работы:
    
    \begin{itemize}
        \item окончание при превышении заданного числа итераций;
        \item окончание по достижению приемлемого решения;
        \item окончание в случае, когда все муравьи начинают следовать одним и тем же путём.
    \end{itemize}
    
    
        

    \newpage
    \section*{Заключение}
    \addcontentsline{toc}{section}{Заключение}

    === Нужно обновить раздел ===

    В ходе третьей лабораторной работы была успешно решена задача коммивояжера с использованием генетических алгоритмов для 38 городов Джибути:

    \begin{enumerate}
        \item Изучен теоретический материал о представлениях туров (соседское, порядковое, путевое) и специализированных операторах кроссинговера и мутации для задачи коммивояжера;
        \item Создана программная библиотека на языке Python с реализацией путевого представления хромосом, операторов PMX, OX и CX для кроссинговера, операторов swap, inversion и insertion для мутации, а также селекции методом рулетки с поддержкой элитизма;
        \item Проведено исследование влияния параметров генетического алгоритма на качество и скорость нахождения решения для популяций размером 10, 50, 100 и 500 особей с различными значениями вероятностей кроссинговера и мутации;
        \item Получено решение с длиной маршрута 6667.03, отклоняющееся от оптимального значения 6659 всего на 0.12\%.
    \end{enumerate}


\newpage
\section*{Список литературы}
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}

\vspace{-1.5cm}
\begin{thebibliography}{0}
    \bibitem{vostrov}
    Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
\end{thebibliography}

\end{document}