task1

task1.md

@@ -0,0 +1,60 @@
+
+# Задание 1
+## Постановка задачи
+В рамках данной работы необходимо:
+### 1. Изучить методы определения производительности вычислительных систем.
+### 2. Разработать собственную реализацию теста LINPACK, применив уникальный метод распараллеливания вычислений.
+### 3. С помощью собственной реализации и стандартного теста LINPACK исследовать производительность узла СКЦ .Политехнический.
+
+Математическое описание
+### 2.1 Задача решения СЛАУ
+Дано:
+a11x1 + a12x2 + ・ ・ ・ + a1nxN = b1
+a21x1 + a22x2 + ・ ・ ・ + a2nxN = b2
+. . .
+aN1x1 + am2x2 + ・ ・ ・ + amnxN = bN
+Ax = b — система N линейных уравнений с N неизвестными, где:
+– A — матрица N × N коэффициентов
+– x — вектор N неизвестных
+– b — вектор N свободных членов уравнений
+Найти:
+Элементы вектора x, при которых |Ax − b| ≤ ϵ, где ϵ — точность найденного
+решения.
+Численные методы решения СЛАУ
+Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих
+факторов).
+### 2.2.1 Прямые методы
+Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К ним относятся: метод Гаусса, Крамера, метод прогонки и др.
+Достоинства:
+– дают решение после выполнения заранее известного числа операций
+– сравнительно просты и наиболее универсальны (пригодны для решения широкого класса линейных систем).
+Недостатки:
+– необходимость хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы,
+– накапливание погрешностей в процессе решения.
+В связи с этим прямые методы используют обычно для не слишком больших
+(N ≤ 200) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Для больших N используются итерационные методы.
+### 2.2.2 Итерационные методы
+Итерационные методы – это методы последовательных приближений. Среди
+них: метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя и др.
+В итерационных методах необходимо задать некоторое приближённое решение – начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма
+проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с
+требуемой точностью.
+### 2.3 Метод Якоби
+Пусть требуется численно решить систему линейных уравнений:
+a11x1 + . . . + a1nxn = b1
+. . .
+an1x1 + . . . + annxn = bn
+Предполагается, что aii ̸= 0, i ∈ {1, . . . , n} (иначе метод Якоби неприменим).
+Выразим x1 через первое уравнение, x2 — через второе и т.д.:
+В методе Якоби последовательность приближений x(k) строится следующим
+образом. Выбирается первое приближение x(0), формула для остальных приближений имеет вид:
+
+
+Постановка эксперимента
+
+(Произведено исследование производительности с помощью реализации теста
+от Intel - Intel High Performance Linpack, - и собственной реализации на CUDA.
+Тестирование производилось для набора значений N от 1000 до 15000.)
+
+
+