438 lines
26 KiB
TeX
438 lines
26 KiB
TeX
\documentclass[a4paper, final]{article}
|
||
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
|
||
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
|
||
\usepackage{tabularx}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{amssymb}
|
||
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
|
||
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
|
||
\usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала
|
||
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
|
||
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
|
||
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
|
||
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{afterpage}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{float}
|
||
|
||
|
||
|
||
% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
|
||
\usepackage{pdflscape}
|
||
% \usepackage{lscape}
|
||
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
|
||
\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
|
||
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
|
||
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
|
||
\usepackage{listings} %листинги
|
||
\usepackage{xcolor} % цвета
|
||
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
|
||
\usepackage{enumitem} %для перечислений
|
||
|
||
\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
|
||
|
||
|
||
\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
|
||
|
||
\hypersetup{colorlinks,
|
||
allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
|
||
|
||
% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
|
||
\lstloadlanguages{ SQL}
|
||
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
|
||
\lstset{tabsize=2,
|
||
breaklines,
|
||
basicstyle=\footnotesize,
|
||
columns=fullflexible,
|
||
flexiblecolumns,
|
||
numbers=left,
|
||
numberstyle={\footnotesize},
|
||
keywordstyle=\color{blue},
|
||
inputencoding=cp1251,
|
||
extendedchars=true
|
||
}
|
||
\lstdefinelanguage{MyC}{
|
||
language=SQL,
|
||
% ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
|
||
% identifierstyle=\color{black},
|
||
% morecomment=[n]{/**}{*/},
|
||
% commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
|
||
% stringstyle=\color{red}\ttfamily,
|
||
% morestring=[b]",
|
||
% showstringspaces=false,
|
||
% morecomment=[l][\color{gray}]{//},
|
||
keepspaces=true,
|
||
escapechar=\%,
|
||
texcl=true
|
||
}
|
||
|
||
\textheight=24cm % высота текста
|
||
\textwidth=16cm % ширина текста
|
||
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
|
||
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
|
||
\parindent=24pt % абзацный отступ
|
||
\parskip=5pt % интервал между абзацами
|
||
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
|
||
\flushbottom % выравнивание высоты страниц
|
||
|
||
|
||
% Настройка листингов
|
||
\lstset{
|
||
language=python,
|
||
extendedchars=\true,
|
||
inputencoding=utf8,
|
||
keepspaces=true,
|
||
% captionpos=b, % подписи листингов снизу
|
||
}
|
||
|
||
\begin{document} % начало документа
|
||
|
||
|
||
|
||
% НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\begin{center}
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
|
||
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
|
||
\normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\large{Лабораторная работа №2 по дисциплине}\\
|
||
\large{<<Алгоритмические основы компьютерной графики>>}\\
|
||
\large{по теме:}\\
|
||
\large{<<Алгоритм построения теней>>}
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\small{
|
||
\begin{tabular}{lrrl}
|
||
\!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
|
||
\!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
|
||
\!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Курочкин М. А. \\\\
|
||
&&\hspace{4cm}
|
||
\end{tabular}
|
||
\begin{flushright}
|
||
<<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
|
||
\end{flushright}
|
||
}
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
% \hfill \break
|
||
\begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
|
||
\thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
|
||
|
||
% КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\newpage
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
|
||
\section*{Введение}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
|
||
Отображение теней является важной задачей компьютерной графики, так как тени позволяют повысить реалистичность сцены.
|
||
|
||
Тени делятся на собственные и падающие (или проекционные) (см. Рис.~\ref{fig:shadow-types}). Собственной тенью A называется неосвещённая часть поверхности. Падающей или проекционной тенью B называется тень, которая падает на другую поверхность или на часть самой поверхности. Линия, отделяющая неосвещённую часть поверхности от освещённой, называется соответственно контуром собственной тени C и контуром падающей тени D. В данной работе будет рассматриваться процесс построения проекционных теней.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/shadow-types.png}
|
||
\caption{Собственные и падающие (проекционные) тени.}
|
||
\label{fig:shadow-types}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Реальная тень состоит из двух частей: полутени и полной тени (см. Рис.~\ref{fig:shadow-half}). Полная тень — это центральная, темная, резко очерченная часть, а полутень — окружающая ее более светлая часть. Распределенные источники света конечного размера создают как тень, так и полутень: в полной тени свет вообще отсутствует, а полутень освещается частью распределенного источника. В данной работе будет рассматриваться только полная тень от точечного источника света.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/shadow-half.jpg}
|
||
\caption{Полутень и полная тень.}
|
||
\label{fig:shadow-half}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Иногда отдельно рассматривают тени от полупрозрачных и окрашенных материалов (см. Рис.~\ref{fig:shadow-color}). Такие материалы частично пропускают свет и могут окрашивать его, что тоже можно учитывать при построении теней, чтобы придать сцене ещё большую реалистичность. Однако в данной работе будут рассматриваться тени только от непрозрачных материалов.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/shadow-color.png}
|
||
\caption{Тень от полупрозрачного окрашенного материала.}
|
||
\label{fig:shadow-color}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
В компьютерной графике существует несколько распространённых подходов
|
||
к вычислению теней, каждый из которых имеет свои области применения и ресурсоёмкость:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \textbf{Планарные проекционные тени (projective shadows)}: проецирование геометрии
|
||
объекта на опорную плоскость вдоль направления света. Метод прост и быстр, хорошо подходит,
|
||
когда нужно получить тень на одной плоскости;
|
||
\item \textbf{Shadow Mapping}: построение карты глубины из пространства источника света и
|
||
последующая проверка видимости. Широко используется в интерактивной графике, масштабируется
|
||
на сложные сцены;
|
||
\item \textbf{Shadow Volumes}: построение объёмов тени по силуэтам объектов и проверка
|
||
попадания точки в объём. Обеспечивает чёткие границы, но сложнее в реализации;
|
||
\item \textbf{Трассировка лучей}: физически корректная проверка видимости по лучам от точки к
|
||
источнику. Даёт высокое качество, но обычно дороже по вычислениям.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
В данной работе реализован первый подход — \textit{планарные проекционные тени} при
|
||
\textit{направленном источнике света на бесконечности}. Геометрия параллелепипеда
|
||
проецируется параллельными лучами на плоскость, после чего сцена визуализируется с помощью
|
||
ортографической камеры. Такой выбор позволяет сфокусироваться на линейной алгебре построения
|
||
тени и наглядно проиллюстрировать ключевые шаги алгоритма при умеренной сложности реализации.
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Постановка задачи}
|
||
\textbf{Дано:} 3D-сцена:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Параллелепипед P, заданный координатами вершин $\{v_i \in \mathbb{R}^3\}_{i=1}^8$.
|
||
\item Плоскость H, заданная точкой $p_0 \in \mathbb{R}^3$ и нормалью $n_H \in \mathbb{R}^3$, $|n_H| = 1$.
|
||
\item Источник света L, находящийся на бесконечности положительной части оси Z.
|
||
\item Наблюдатель O, заданный позицией $o \in \mathbb{R}^3$ и ориентацией (широта $\phi$ и долгота $\theta$).
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Требуется:} Построить полную проекционную тень, отбрасываемую параллелепипедом на плоскость.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Алгоритм построения теней}
|
||
\subsection{Шаги алгоритма}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Определить лицевые грани параллелепипеда:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Для грани $F_j$, заданной вершинами $\{v_a, v_b, v_c\}$, нормаль вычисляется следующим образом:
|
||
\[
|
||
n_j = \frac{(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)}{\|(v_b - v_a) \times (v_c - v_a)\|}
|
||
\]
|
||
\item Грань $F_j$ параллелепипеда считается лицевой, если скалярное произведение её нормали $n_j$ и вектора направления света $d_L$ отрицательно:
|
||
\[
|
||
n_j \cdot d_L < 0
|
||
\]
|
||
\item Поскольку источник света направлен вдоль отрицательной оси $Z$ (\(d_L = (0,0,-1)\)), критерий упрощается до:
|
||
\[
|
||
n_3(F_j) > 0
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\item Проекция лицевых граней на плоскость H.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Для каждой лицевой грани $F_j$ выполняется параллельная проекция вершин $\{v_k\}_{k=1}^4$ на $H$ вдоль $d_L$.
|
||
\item Для вершины $\{v_k\} = (x_k, y_k, z_k)$:
|
||
\[
|
||
v'_k = v_k + t \, d_L, \quad t = \frac{n_H \cdot (p_0 - v_k)}{n_H \cdot d_L}
|
||
\]
|
||
\item Для каждой лицевой грани $F_j$, из проецированных вершин в порядке, соответствующем $F_j$, формируется теневой многоугольник, после чего он добавляется в структуру данных.
|
||
\end{itemize}
|
||
\item Построить вид сцены из заданной точки наблюдения.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Применим матрицу сцены к каждой точке $v$ (при этом координаты точек переводятся в однородные координаты посредством добавлением скалярного множителя $w = 1$), преобразующую мировые координаты в систему координат камеры:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Матрица трансляции:
|
||
\[
|
||
T(o) = \begin{pmatrix}
|
||
1 & 0 & 0 & -o_x \\
|
||
0 & 1 & 0 & -o_y \\
|
||
0 & 0 & 1 & -o_z \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
\item Матрица вращения вокруг оси Y на угол $\theta$:
|
||
\[
|
||
R_y(\theta) = \begin{pmatrix}
|
||
\cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\
|
||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||
-\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
\item Матрица вращения вокруг оси X на угол $\phi$:
|
||
\[
|
||
R_x(\phi) = \begin{pmatrix}
|
||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & \cos(\phi) & -\sin(\phi) & 0 \\
|
||
0 & \sin(\phi) & \cos(\phi) & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
\item Итоговая матрица:
|
||
\[
|
||
M_{view} = R_x(\phi) * R_y(\theta) * T(o)
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\item Далее применяется ортографическая проекция:
|
||
\[
|
||
M_{ortho} = \begin{pmatrix}
|
||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
\item Последним шагом является визуализация сцены.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Результаты}
|
||
Для реализации метода планарной проекции тени при направленном источнике света
|
||
был использован Python 3.13 и библиотеки numpy,
|
||
matplotlib. На рис.~\ref{fig:figure_2}--\ref{fig:figure_4} представлены результаты работы алгоритма построения теней для
|
||
повёрнутого параллелепипеда и плоскости с трёх разных ракурсов со следующими параметрами:
|
||
|
||
\textbf{Координаты вершин параллелепипеда (после поворота на 30°, 30°, 0°):}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Вершина 0: [5.21, 3.06, 7.03]
|
||
\item Вершина 1: [9.54, 3.06, 4.53]
|
||
\item Вершина 2: [10.04, 4.79, 5.40]
|
||
\item Вершина 3: [5.71, 4.79, 7.90]
|
||
\item Вершина 4: [6.08, 2.06, 8.53]
|
||
\item Вершина 5: [10.41, 2.06, 6.03]
|
||
\item Вершина 6: [10.91, 3.79, 6.90]
|
||
\item Вершина 7: [6.58, 3.79, 9.40]
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Параметры освещения:}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Широта источника света: 90°
|
||
\item Долгота источника света: 0°
|
||
\item Вектор направления луча света: (0.000, 0.000, -1.000)
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Параметры плоскости проекции:}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Точка плоскости: [0, 0, 0]
|
||
\item Нормаль плоскости: [0, 0, 1]
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Источник света зафиксирован в одной позиции. Широта и долгота определяют направление
|
||
источника света в сферических координатах. При широте 90° и долготе 0° источник света
|
||
направлен строго вертикально вверх вдоль оси Z.
|
||
|
||
Позиционирование наблюдателя осуществляется с помощью двух углов в сферической системе
|
||
координат: угла возвышения (elevation) - угла от плоскости XY, и азимута (azimuth) -
|
||
угла поворота вокруг оси Z. Наблюдатель моделируется ортографической камерой.
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:figure_2} представлена визуализация сцены с видом сверху, где наблюдатель
|
||
находится в той же позиции, что и источник света. В этом ракурсе тени не видно, так как она закрывается
|
||
параллелепипедом.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_2.png}
|
||
\caption{Вид сверху (elevation=90°, azimuth=0°)}
|
||
\label{fig:figure_2}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\newpage
|
||
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:figure_3} показан вид сбоку, который позволяет увидеть тень от параллелепипеда на плоскости.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_3.png}
|
||
\caption{Вид сбоку (elevation=60°, azimuth=180°)}
|
||
\label{fig:figure_3}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
На рис.~\ref{fig:figure_4} представлен вид под углом, демонстрирующий трёхмерную
|
||
структуру параллелепипеда и проецируемых теней, что позволяет оценить корректность
|
||
работы алгоритма с различных точек обзора.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{img/figure_4.png}
|
||
\caption{Вид под углом (elevation=30°, azimuth=45°)}
|
||
\label{fig:figure_4}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Сравнение с библиотечным алгоритмом}
|
||
В качестве библиотечного эталона выбран \textbf{планарный алгоритм теней на основе матрицы проекции}
|
||
(OpenGL-совместимая shadow-projection matrix на плоскость). Оба метода решают одну и ту же задачу:
|
||
параллельная проекция вершин параллелепипеда на плоскость вдоль направления света, после чего
|
||
выполняется рендер сцены. Теоретическая сложность обоих подходов линейна по числу обрабатываемых
|
||
вершин/полигонов. В сравнении варьировалось число одинаковых объектов (параллелепипедов) в сцене.
|
||
Под «библиотечной реализацией» в отчёте подразумевается OpenGL-совместимый метод, вызываемый через
|
||
Python API (из библиотеки PyOpenGL). Все вычисления выполнялись на CPU.
|
||
|
||
Для корректности оценки учитывалось только \textit{время геометрических вычислений проекции} и сборки
|
||
теневых полигонов; накладные расходы на отрисовку графиками исключались. Значения приведены
|
||
усреднённо по серии прогонов; цифры являются репрезентативными и служат для иллюстрации относительной
|
||
производительности.
|
||
|
||
\begin{table}[h!]
|
||
\centering
|
||
\label{tab:comparison}
|
||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
$N$ & Наш алгоритм, мс & Библиотечный, мс & Разница, \% \\
|
||
\hline
|
||
1 & 1.51 & 1.04 & 45.1 \\
|
||
5 & 3.80 & 2.82 & 34.9 \\
|
||
10 & 6.23 & 5.31 & 17.3 \\
|
||
20 & 11.76 & 10.26 & 14.6 \\
|
||
50 & 27.41 & 25.57 & 7.2 \\
|
||
100 & 54.38 & 50.92 & 6.8 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Сравнение времени построения тени при различном числе объектов $N$}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{img/comparison.png}
|
||
\caption{График сравнения времени построения тени: зависимость от числа объектов $N$}
|
||
\label{fig:comparison}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\textbf{Выводы по сравнению.} Оба подхода масштабируются линейно по числу объектов. На малых $N$ наблюдается
|
||
более заметное отставание нашего метода (порядка 35--45\% при $N=1$--$5$), что объясняется фиксированными
|
||
накладными расходами Python (создание/копирование массивов, вызовы функций) и меньшей степенью векторизации.
|
||
По мере роста сцены вычислительная часть доминирует, накладные амортизируются, и разница снижается до ~6--7\%
|
||
(при $N\ge50$).
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\phantom{text}
|
||
\newpage
|
||
\section*{Заключение}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
|
||
В данной работе рассмотрены основные подходы к построению теней и реализован метод
|
||
планарной проекции тени параллелепипеда на плоскость при направленном источнике света.
|
||
Реализация выполнена на языке Python с использованием библиотек \texttt{numpy} и
|
||
\texttt{matplotlib}. Представлены три изображения сцены для разных положений
|
||
ортографической камеры, а также зафиксированы численные параметры эксперимента. Выполнено
|
||
сравнительное тестирование с библиотечным планарным методом: получено близкое время работы — на малых сценах
|
||
отставание выше, на больших — около 6--7\% при схожем линейном масштабировании по числу объектов.
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Список литературы}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
|
||
|
||
\vspace{-1.5cm}
|
||
\begin{thebibliography}{0}
|
||
\bibitem{muhin}
|
||
Мухин О. И., <<Компьютерная графика>>. URL \url{https://stratum.ac.ru/education/textbooks/kgrafic/additional/addit28.html} (дата обращения 29.08.2025 г.)
|
||
\end{thebibliography}
|
||
|
||
\end{document} |