idz4

idz4/.gitignore

@@ -0,0 +1,6 @@
+**/*
+!.gitignore
+!report.tex
+!img
+!img/**
+!*.ipynb

idz4/report.tex

@@ -0,0 +1,691 @@
+\documentclass[a4paper, final]{article}
+%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
+\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
+\usepackage{tabularx}
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[left=15mm, top=15mm, right=15mm, bottom=15mm, footskip=10mm]{geometry}
+\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
+\usepackage{setspace} %для межстрочно   го интервала
+\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
+\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
+\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
+\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{afterpage}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{float}
+
+
+
+% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
+\usepackage{pdflscape}
+% \usepackage{lscape}
+
+\usepackage{array}
+\usepackage{multirow}
+
+\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
+\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
+\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
+\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
+\usepackage{listings} %листинги
+\usepackage{xcolor} % цвета
+\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
+\usepackage{enumitem} %для перечислений
+
+\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
+
+
+\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
+
+\hypersetup{colorlinks,
+    allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
+
+% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
+\lstloadlanguages{ SQL}
+% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
+\lstset{tabsize=2,
+    breaklines,
+    basicstyle=\footnotesize,
+    columns=fullflexible,
+    flexiblecolumns,
+    numbers=left,
+    numberstyle={\footnotesize},
+    keywordstyle=\color{blue},
+    inputencoding=cp1251,
+    extendedchars=true
+}
+\lstdefinelanguage{MyC}{
+    language=SQL,
+%    ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
+%    identifierstyle=\color{black},
+%    morecomment=[n]{/**}{*/},
+%    commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
+%    stringstyle=\color{red}\ttfamily,
+%    morestring=[b]",
+%    showstringspaces=false,
+%    morecomment=[l][\color{gray}]{//},
+    keepspaces=true,
+    escapechar=\%,
+    texcl=true
+}
+
+\textheight=24cm % высота текста
+\textwidth=16cm % ширина текста
+\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
+\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
+\parindent=24pt % абзацный отступ
+\parskip=5pt % интервал между абзацами
+\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
+\flushbottom % выравнивание высоты страниц
+
+
+% Настройка листингов
+\lstset{
+    language=python,
+    extendedchars=\true,
+    inputencoding=utf8,
+    keepspaces=true,
+    % captionpos=b, % подписи листингов снизу
+}
+
+\begin{document} % начало документа
+    
+
+
+    % НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
+    \begin{center}
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
+            федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
+        \normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt] 
+        \normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt] 
+        \normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
+        
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \hfill \break
+        \large{Индивидуальное домашнее задание №4}\\
+        \large{по дисциплине}\\
+        \large{<<Математическая статистика>>}\\
+        \large{Вариант 27}\\
+        
+        % \hfill \break
+        \hfill \break
+    \end{center}
+    
+    \small{ 
+        \begin{tabular}{lrrl}
+            \!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
+            \!\!\!группы 5130201/20102 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
+            \!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} &  \underline{\hspace{3cm}} &  Малов С. В. \\\\
+            &&\hspace{4cm}
+        \end{tabular}
+        \begin{flushright}
+            <<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
+        \end{flushright}
+    }
+    
+    \hfill \break
+    % \hfill \break
+    \begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
+    \thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
+    
+    % КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
+    \newpage
+    \section {Задание №1}
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1.png}
+    \end{figure}
+
+    \subsection{Пункт a}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.75\linewidth]{img/task1_1.png}
+    \end{figure}
+
+
+    \textbf{Формулировка линейной регрессионной модели}
+    Линейная регрессионная модель зависимости $Y$ от $X$ имеет вид:
+    $$
+    Y = \beta_1 + \beta_2 X + \epsilon,
+    $$
+    где:
+    - $\beta_1$ — параметр сдвига,
+    - $\beta_2$ — параметр масштаба,
+    - $\epsilon$ — случайная ошибка.
+    
+    \textbf{Построение МНК-оценок параметров}
+    Метод наименьших квадратов (МНК) используется для нахождения оценок $\hat{\beta_1}$ и $\hat{\beta_2}$, которые минимизируют сумму квадратов остатков.
+
+    $\beta_1 = 15.5869$
+
+    $\beta_2 = -0.2522$
+
+    $R^2$ линейной модели: 0.0144
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_2.png}
+    \end{figure}
+
+    \textbf{Распределение точек относительно линии}
+    Точки разбросаны, линия не отражает тренд, что говорит о плохом соответствии.
+
+    \textbf{Наклон линии}: Линия близка к горизонтальной, зависимость слабая.
+
+    Таким образом, Между $X$ и $Y$ нет линейной зависимости. Линейная модель не подходит для описания данных.
+
+    \newpage
+    \subsection{Пункт b}
+
+    \textbf{Формулировка полиномиальной регрессионной модели}
+    Полиномиальная регрессионная модель зависимости $Y$ от $X$ имеет вид:
+    $$
+    Y = \beta_1 + \beta_2 X + \beta_3 X^2 + \epsilon,
+    $$
+    где:
+    \begin{itemize}
+        \item $\beta_1$ — параметр сдвига,
+        \item $\beta_2$ — линейный коэффициент при $X$,
+        \item $\beta_3$ —  квадратичный коэффициент при $X^2$,
+        \item $\epsilon$ — случайная ошибка
+    \end{itemize}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_3.png}
+    \end{figure}
+
+    Полиномиальная модель:
+    $\beta_1 = 16.8727$
+    $\beta_2 = -1.1208$
+    $\beta_3 = 0.1296$
+
+    $R^2$ полиномиальной модели: 0.0240
+
+
+    \textbf{Распределение точек относительно линии}: Точки разбросаны, линия не отражает тренд, что говорит о плохом соответствии.  
+
+    \textbf{Низкий R²} означает, что квадратичная модель плохо описывает связь между $X$ и $Y$. 
+
+    \textbf{Результаты указывают на то, что квадратичная модель не подходит для описания данных.}
+
+    \newpage
+    \subsection{Пункт c}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.95\linewidth]{img/task1_4.png}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.9\linewidth]{img/task1_5.png}
+    \end{figure}
+
+    \newpage
+    \textbf{Проверка нормальности с помощью критерия $\chi^2$}
+
+    Этапы:
+    \begin{enumerate}
+        \item Гипотезы:
+        \begin{itemize}
+            \item $H_0$: Остатки имеют нормальное распределение.
+            \item $H_1$: Остатки не имеют нормального распределения.
+        \end{itemize}
+        \item Разделить данные на интервалы (бины): Используем те же интервалы, что и в гистограмме.
+        \item Рассчитать наблюдаемые ($O_i$) и ожидаемые ($E_i$) частоты:
+        \begin{itemize}
+            \item $E_i = N \cdot P$ (для $i$-го интервала), где $P$ — вероятность из нормального распределения $N(\mu, \sigma^2)$.
+        \end{itemize}
+        \item Вычислить статистику $\chi^2$:
+    $$
+    \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}.
+    $$
+        \item Сравнить с критическим значением $\chi^2$: Если $\chi^2 > \chi^2_{\text{крит}}$, отвергаем $H_0$.
+    \end{enumerate}
+
+    Хи-квадрат статистика: 2.7737
+
+    Критическое значение: 13.3882
+
+    p-value: 0.7348
+
+    Не отвергаем $H_0$: распределение нормальное
+
+    \textbf{Визуально:} Остатки близки к нормальному распределению.
+
+    \textbf{Статистически:} Критерий $\chi^2$ не выявил значимых отклонений от нормальности на уровне $\alpha=0.02$.
+
+    Предположение о нормальности ошибок выполняется.
+
+    \subsection{Пункт d}
+
+    Частные интервалы строятся для каждого параметра отдельно, используя t-распределение.
+
+    \textbf{Формула:}
+    $$
+    \hat{\beta_j} \pm t_{1-\alpha/2, n-p} \cdot SE(\hat{\beta_j}),
+    $$
+    где:
+    \begin{itemize}
+        \item $\hat{\beta_j}$ - оценка параметра,
+        \item $SE(\hat{\beta_j})$ - стандартная ошибка параметра,
+        \item $t_{1-\alpha/2}$ - критическое значение t-распределения,
+        \item $n$ - число наблюдений,
+        \item $p$ - число параметров модели (для квадратичной модели $p = 3$).
+    \end{itemize}
+
+    Доверительные интервалы (уровень 0.98):
+    \begin{itemize}
+        \item Доверительный интервал для $\beta_2$ (98.0\%): [-4.2930, 2.0514]
+        \item Доверительный интервал для $\beta_3$ (98.0\%): [-0.3310, 0.5902]
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Совместные доверительные интервалы}
+    Совместные интервалы учитывают корреляцию между оценками параметров. Используем метод Бонферрони или F-распределение.
+
+    \textbf{Метод Бонферрони}
+
+    Формула:
+    $$
+    \hat{\beta_j} \pm t_{1-\alpha/(2k),n-p} \cdot SE(\hat{\beta_j}),
+    $$
+    где $k=2$ (число параметров $\beta_2$ и $\beta_3$).
+
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task1_6.png}
+    \end{figure}
+
+    Ковариационная матрица для $\beta_2$ и $\beta_3$:
+
+    \begin{verbatim}
+                X        X2
+        X   1.734960 -0.245172
+        X2 -0.245172  0.036575
+    \end{verbatim}
+
+    Совместные интервалы (Бонферрони):
+    \begin{itemize}
+        \item $\beta_2$: [-4.657, 2.415]
+        \item $\beta_3$: [-0.384, 0.643]
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Метод F-распределения}
+
+    Формула:
+    $$
+    (\hat{\beta} - \beta)^T \cdot Cov(\hat{\beta})^{-1} \cdot (\hat{\beta} - \beta) \leq F_{1-\alpha, 2, n-p},
+    $$
+    где $F_{1-\alpha, 2, n-p}$ - критическое значение F-распределения.
+
+    Полная ковариационная матрица:
+    \begin{verbatim}
+                const       X      X2
+        const  4.7543 -2.7403  0.3629
+        X     -2.7403  1.7350 -0.2452
+        X2     0.3629 -0.2452  0.0366
+    \end{verbatim}
+
+    Вектор оценок параметров [$\beta_2$, $\beta_3$]:
+    [-1.120772, 0.129577]
+
+    \subsection{Пункт e}
+    \textbf{Гипотеза линейности}
+    \begin{itemize}
+        \item $H_0$: Зависимость $Y$ от $X$ линейна ($\beta_3 = 0$).
+        \item $H_1$: Зависимость нелинейна ($\beta_3 \neq 0$).
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Гипотеза независимости}
+    \begin{itemize}
+        \item $H_0$: $Y$ не зависит от $X$ линейна ($\beta_2 = \beta_3 = 0$).
+        \item $H_1$: $Y$ зависит от $X$ линейна (хотя бы один из $\beta_2, \beta_3 \neq 0$).
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Проверка гипотезы линейности ($H_0: \beta_3 = 0$):}
+    \begin{itemize}
+        \item t-статистика: 0.6775
+        \item p-значение: 0.5014
+        \item Нет оснований отвергать гипотезу о линейности (p > 0.02).
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Проверка гипотезы независимости ($H_0: \beta_2 = 0$):}
+    \begin{itemize}
+        \item t-статистика: -0.8509
+        \item p-значение: 0.3991
+        \item Нет оснований отвергать гипотезу о независимости (p > 0.02).
+    \end{itemize}
+
+
+    \newpage
+    \subsection{Пункт f}
+    Сравнение моделей по AIC и BIC:
+    \begin{verbatim}
+        Модель           AIC       BIC
+        Линейная        232.83     236.66
+        Квадратичная    234.35     240.08
+    \end{verbatim}
+
+    \textbf{AIC/BIC} линейной модели меньше, она лучше описывает данные.
+    
+    \subsection{Пункт g}
+    \textbf{Характер зависимости $Y$ от $X$}
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Линейная модель:}
+        $$
+        Y = 15.59 - 0.25X,\ R^2 = 0.014.
+        $$
+        \begin{itemize}
+            \item Крайне низкий $R^2$ (1.4\%) указывает на отсутствие линейной зависимости.
+            \item Коэффициент $\beta_2 = -0.25$ статистически незначим (доверительный интервал [-4.29, 2.05] включает ноль).
+        \end{itemize}
+
+        \item \textbf{Квадратичная модель:}
+        $$
+        Y = 16.87 - 1.12X + 0.13X^2,\ R^2 = 0.024.
+        $$
+        \begin{itemize}
+            \item $R^2 = 2.4\%$ показывает, что модель объясняет лишь незначительную часть вариации.
+            \item Коэффициенты:
+            \begin{itemize}
+                \item $\beta_2 = -1.12$ (линейный член): интервал [-4.29, 2.05] включает ноль.
+                \item $\beta_3 = 0.13$ (квадратичный член): интервал [-0.33, 0.59] включает ноль.
+            \end{itemize}
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Проверка гипотез}\\
+    Остатки близки к нормальному распределению. Критерий $\chi^2$ не выявил значимых отклонений от нормальности на уровне $\alpha=0.02$.
+
+    \textit{Предположение о нормальности ошибок выполняется.}
+
+    \textbf{AIC/BIC}
+    \begin{center}
+    \begin{tabular}{|l|c|c|}
+    \hline
+    Модель & AIC & BIC \\
+    \hline
+    Линейная & 232.83 & 236.66 \\
+    \hline
+    Квадратичная & 234.35 & 240.08 \\
+    \hline
+    \end{tabular}
+    \end{center}
+
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Линейная модель} имеет более низкие AIC/BIC, чем квадратичная.
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Аномалии в результатах}
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Парадокс низкого $R^2$:}
+        \begin{itemize}
+            \item Обе модели объясняют менее 3\% вариации, что ставит под сомнение их практическую применимость.
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Итоговый вывод}
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Отсутствие значимой связи:} Ни линейная, ни квадратичная модели не демонстрируют статистически значимой зависимости $Y$ от $X$ на уровне $\alpha=0.02$.
+        \item \textbf{Рекомендации:}
+        \begin{itemize}
+            \item Проверить данные на наличие выбросов или ошибок.
+            \item Рассмотреть другие предикторы или преобразования.
+            \item Увеличить объем данных для повышения надежности тестов.
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+
+    \newpage
+    \section{Задание 2}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2.png}
+    \end{figure}
+
+    \subsection{Пункт a}
+    \textbf{1. Формулировка модели двухфакторного дисперсионного анализа}
+
+    Модель с взаимодействием факторов:
+    $$
+    Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk},
+    $$
+    где:
+    \begin{itemize}
+        \item $Y_{ijk}$ — наблюдаемое значение переменной $Y$ для $i$-го уровня фактора $A$, $j$-го уровня фактора $B$, $k$-го повторения,
+        \item $\mu$ — общее среднее,
+        \item $\alpha_i$ — эффект $i$-го уровня фактора $A$,
+        \item $\beta_j$ — эффект $j$-го уровня фактора $B$,
+        \item $(\alpha \beta)_{ij}$ — эффект взаимодействия факторов $A$ и $B$,
+        \item $\epsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$ — случайная ошибка.
+    \end{itemize}
+
+    \newpage
+    \textbf{2. Построение МНК-оценок параметров}
+
+    Оценки параметров полной модели:
+    \begin{verbatim}
+        Intercept              11.998333
+        C(A)[T.2]               2.440000
+        C(B)[T.2]              -2.586667
+        C(B)[T.3]               4.146667
+        C(B)[T.4]              -0.345000
+        C(A)[T.2]:C(B)[T.2]    10.131667
+        C(A)[T.2]:C(B)[T.3]     1.561667
+        C(A)[T.2]:C(B)[T.4]     3.795000
+    \end{verbatim}
+
+    \textbf{3. Несмещенная оценка дисперсии}
+
+    Несмещенная оценка дисперсии ошибок:
+    $$
+    \hat{\sigma}^2 = \frac{SS_{\text{res}}}{df_{\text{res}}} = 0.757,
+    $$
+    где:
+    \begin{itemize}
+        \item $SS_{\text{res}}$ — сумма квадратов остатков,
+        \item $df_{\text{res}} = n - p$ — степени свободы ($n$ — число наблюдений, $p$ — число параметров).
+    \end{itemize}
+
+    \subsection{Пункт b}
+
+    Сводная таблица средних значений Y:
+
+    \begin{verbatim}
+        B          1          2          3          4
+        A                                            
+        1  11.998333   9.411667  16.145000  11.653333
+        2  14.438333  21.983333  20.146667  17.888333
+    \end{verbatim}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_1.png}
+    \end{figure}
+
+    \textbf{Визуальная проверка аддитивности:}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Пересечение линий: График зависимости $Y$ от $A$ при фиксированных $B$ показывает, что линии для разных уровней $B$ пересекаются, особенно при $B=4$. Это указывает на наличие взаимодействия между факторами.
+        \item Следствия: Взаимодействие факторов может означать, что влияние одного фактора на зависимую переменную $Y$ зависит от другого фактора.
+    \end{itemize}
+
+
+    \newpage
+    \subsection{Пункт c}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=1\linewidth]{img/task2_2.png}
+    \end{figure}
+
+    \begin{figure}[h!]
+       \centering
+       \includegraphics[width=0.8\linewidth]{img/task2_3.png}
+    \end{figure}
+
+    \textbf{Тест Шапиро-Уилка:} p-value = 0.949
+
+    \textbf{Не отвергаем $H_0$: остатки нормальны.}
+
+    \textbf{Результаты:}
+    \begin{itemize}
+        \item Гистограмма: Распределение остатков близко к нормальному, совпадает с наложенной кривой $N(0, \sigma^2)$.
+        \item Q-Q график: Точки лежат вдоль линии $y=x$, что подтверждает нормальность.
+        \item Тест Шапиро-Уилка: гипотеза о нормальности не отвергается.
+    \end{itemize}
+
+    \subsection{Пункт d}
+    Таблица ANOVA:
+
+    \begin{verbatim}
+        df      sum_sq     mean_sq           F        PR(>F)
+        C(A)        1.0  478.108752  478.108752  631.694471  4.061068e-26
+        C(B)        3.0  153.241356   51.080452   67.489330  1.051893e-15
+        C(A):C(B)   3.0  178.558140   59.519380   78.639144  8.022881e-17
+        Residual   40.0   30.274683    0.756867         NaN           NaN
+    \end{verbatim}
+
+    \textbf{Результаты ANOVA}
+    \begin{itemize}
+        \item Фактор A:
+        $$
+        F = 631.69,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
+        $$
+        
+        \item Фактор B:
+        $$
+        F = 67.49,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
+        $$
+    
+        \item Взаимодействие $A \times B$:
+        $$
+        F = 78.64,\ p\text{-value} < 0.001 \ \rightarrow \ \text{значимо влияет на } Y.
+        $$
+
+        \item Вывод:
+        На уровне значимости $\alpha=0.02$ все факторы (A, B) и их взаимодействие \textbf{значимо} ($p < 0.02$). Это означает, что влияние фактора A на Y зависит от уровня фактора B, и наоборот.
+    \end{itemize}
+
+    \subsection{Пункт e}
+
+    Для выбора оптимальной модели используются критерии:
+    \begin{itemize}
+        \item AIC оценивает баланс между качеством подгонки модели и её сложностью, накладывая штраф за избыточное количество параметров.
+        \item BIC работает аналогично AIC, но применяет более строгий штраф за сложность, особенно при больших объемах данных.
+    \end{itemize}
+
+    Сравниваем две модели:
+    \begin{enumerate}
+        \item Полная модель (с взаимодействием): 
+        $$
+        Y \sim A + b + A : B.
+        $$
+        \item Аддитивная модель (без взаимодействия):
+        $$
+        Y \sim A + B.
+        $$
+    \end{enumerate}
+
+    \begin{verbatim}
+        Модель        AIC       BIC
+        Полная       130.10    145.07
+        Аддитивная   216.79    226.15
+    \end{verbatim}
+
+    \textbf{Вывод о сравнении моделей}
+
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Результаты AIC и BIC:}
+        \begin{itemize}
+            \item Полная модель имеет AIC = 130.10, в то время как аддитивная модель имеет AIC = 216.79. Это указывает на значительное преимущество полной модели.
+            \item Полная модель также имеет BIC = 145.07, а аддитивная модель — BIC = 226.15. Разница подтверждает выбор полной модели.
+        \end{itemize}
+
+        \item \textbf{Заключение:}
+        \begin{itemize}
+            \item Полная модель \textbf{предпочтительнее}, так как она лучше соответствует данным, что подтверждается меньшими значениями AIC и BIC.
+            \item Аддитивная модель не учитывает взаимодействие факторов.
+        \end{itemize}
+    \end{itemize}
+
+    \subsection{Пункт f}
+
+    \textbf{1. Основные эффекты факторов A и B}
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Фактор A:}  
+        Оказал сильное статистически значимое влияние на $Y$ ($F=631.69, p<0.001$).  
+
+
+        \item \textbf{Фактор B:}  
+        Также значимо влияет на $Y$ ($F=67.49, p<0.001$).  
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{2. Взаимодействие факторов $A \times B$}
+    \begin{itemize}
+        \item \textbf{Статистическая значимость:}  
+        Взаимодействие значимо ($F=78.64, p<0.001$).
+        
+        \item \textbf{Визуальное подтверждение:}  
+        График зависимости $Y$ от $A$ при фиксированных $B$ показывает пересечение линий (особенно для $B=4$), что указывает на неаддитивность эффектов.
+    \end{itemize}
+
+
+    \textbf{3. Выбор оптимальной модели}
+
+    AIC/BIC:
+      
+    \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|X|X|}
+    \hline
+    Модель & AIC & BIC \\
+    \hline
+    Полная (с взаимодействием) & 130.10 & 145.07 \\
+    \hline
+    Аддитивная & 216.79 & 226.15 \\
+    \hline
+    \end{tabularx}
+
+    Разница $\Delta AIC = 86.69$ и $\Delta BIC = 81.08$ явно указывает на преимущество полной модели.  
+    
+    Аддитивная модель не учитывает взаимодействие, что приводит к потере информации.
+
+
+    \textbf{4. Нормальность остатков}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Тест Шапиро-Уилка:  
+        $$p\text{-value} = 0.949 \implies \text{гипотеза о нормальности остатков не отвергается}.$$
+        \item Графическая проверка:  
+        Гистограмма остатков близка к нормальной форме.  
+        \item Q-Q график показывает совпадение точек с линией $y = x$.
+    \end{itemize}
+
+    \textbf{Рекомендации:}  
+    Для прогнозирования $Y$ необходимо учитывать взаимодействие $A \times B$, так как его игнорирование приведет к систематической ошибке.
+
+
+    \textbf{Итоговый вывод}
+    \begin{enumerate}
+        \item Полная модель с взаимодействием предпочтительна по критериям AIC/BIC и объясняет данные лучше аддитивной.  
+        \item Нормальность остатков подтверждена тестами и графиками.
+    \end{enumerate}
+
+    \textbf{Рекомендации:}  
+    \begin{itemize}
+        \item Проверить данные на наличие выбросов для уровня $B=4$.  
+        \item Использовать полную модель для прогнозирования и анализа эффектов.
+    \end{itemize}
+\end{document}