395 lines
30 KiB
TeX
395 lines
30 KiB
TeX
\documentclass[a4paper, final]{article}
|
||
%\usepackage{literat} % Нормальные шрифты
|
||
\usepackage[14pt]{extsizes} % для того чтобы задать нестандартный 14-ый размер шрифта
|
||
\usepackage{tabularx}
|
||
\usepackage{booktabs}
|
||
\usepackage[T2A]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[russian]{babel}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage[left=25mm, top=20mm, right=20mm, bottom=20mm, footskip=10mm]{geometry}
|
||
\usepackage{ragged2e} %для растягивания по ширине
|
||
\usepackage{setspace} %для межстрочно го интервала
|
||
\usepackage{moreverb} %для работы с листингами
|
||
\usepackage{indentfirst} % для абзацного отступа
|
||
\usepackage{moreverb} %для печати в листинге исходного кода программ
|
||
\usepackage{pdfpages} %для вставки других pdf файлов
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{afterpage}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage{float}
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
% \usepackage[paper=A4,DIV=12]{typearea}
|
||
\usepackage{pdflscape}
|
||
% \usepackage{lscape}
|
||
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{multirow}
|
||
|
||
\renewcommand\verbatimtabsize{4\relax}
|
||
\renewcommand\listingoffset{0.2em} %отступ от номеров строк в листинге
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.4} % изменяю высоту строки в таблице
|
||
\usepackage[font=small, singlelinecheck=false, justification=centering, format=plain, labelsep=period]{caption} %для настройки заголовка таблицы
|
||
\usepackage{listings} %листинги
|
||
\usepackage{xcolor} % цвета
|
||
\usepackage{hyperref}% для гиперссылок
|
||
\usepackage{enumitem} %для перечислений
|
||
|
||
\newcommand{\specialcell}[2][l]{\begin{tabular}[#1]{@{}l@{}}#2\end{tabular}}
|
||
|
||
|
||
\setlist[enumerate,itemize]{leftmargin=1.2cm} %отступ в перечислениях
|
||
|
||
\hypersetup{colorlinks,
|
||
allcolors=[RGB]{010 090 200}} %красивые гиперссылки (не красные)
|
||
|
||
% подгружаемые языки — подробнее в документации listings (это всё для листингов)
|
||
\lstloadlanguages{ SQL}
|
||
% включаем кириллицу и добавляем кое−какие опции
|
||
\lstset{tabsize=2,
|
||
breaklines,
|
||
basicstyle=\footnotesize,
|
||
columns=fullflexible,
|
||
flexiblecolumns,
|
||
numbers=left,
|
||
numberstyle={\footnotesize},
|
||
keywordstyle=\color{blue},
|
||
inputencoding=cp1251,
|
||
extendedchars=true
|
||
}
|
||
\lstdefinelanguage{MyC}{
|
||
language=SQL,
|
||
% ndkeywordstyle=\color{darkgray}\bfseries,
|
||
% identifierstyle=\color{black},
|
||
% morecomment=[n]{/**}{*/},
|
||
% commentstyle=\color{blue}\ttfamily,
|
||
% stringstyle=\color{red}\ttfamily,
|
||
% morestring=[b]",
|
||
% showstringspaces=false,
|
||
% morecomment=[l][\color{gray}]{//},
|
||
keepspaces=true,
|
||
escapechar=\%,
|
||
texcl=true
|
||
}
|
||
|
||
\textheight=24cm % высота текста
|
||
\textwidth=16cm % ширина текста
|
||
\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края
|
||
\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края
|
||
\parindent=24pt % абзацный отступ
|
||
\parskip=5pt % интервал между абзацами
|
||
\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам
|
||
\flushbottom % выравнивание высоты страниц
|
||
|
||
|
||
% Настройка листингов
|
||
\lstset{
|
||
language=python,
|
||
extendedchars=\true,
|
||
inputencoding=utf8,
|
||
keepspaces=true,
|
||
% captionpos=b, % подписи листингов снизу
|
||
}
|
||
|
||
\begin{document} % начало документа
|
||
|
||
|
||
|
||
% НАЧАЛО ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\begin{center}
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\normalsize{МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ\\
|
||
федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»\\[10pt]}
|
||
\normalsize{Институт компьютерных наук и кибербезопасности}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Высшая школа технологий искусственного интеллекта}\\[10pt]
|
||
\normalsize{Направление: 02.03.01 <<Математика и компьютерные науки>>}\\
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\large{Лабораторная работа №6}\\
|
||
\large{по дисциплине}\\
|
||
\large{<<Генетические алгоритмы>>}\\
|
||
\large{Вариант 18}\\
|
||
|
||
% \hfill \break
|
||
\hfill \break
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\small{
|
||
\begin{tabular}{lrrl}
|
||
\!\!\!Студент, & \hspace{2cm} & & \\
|
||
\!\!\!группы 5130201/20101 & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} &Тищенко А. А. \\\\
|
||
\!\!\!Преподаватель & \hspace{2cm} & \underline{\hspace{3cm}} & Большаков А. А. \\\\
|
||
&&\hspace{4cm}
|
||
\end{tabular}
|
||
\begin{flushright}
|
||
<<\underline{\hspace{1cm}}>>\underline{\hspace{2.5cm}} 2025г.
|
||
\end{flushright}
|
||
}
|
||
|
||
\hfill \break
|
||
% \hfill \break
|
||
\begin{center} \small{Санкт-Петербург, 2025} \end{center}
|
||
\thispagestyle{empty} % выключаем отображение номера для этой страницы
|
||
|
||
% КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
|
||
\newpage
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section {Постановка задачи}
|
||
В данной работе были поставлены следующие задачи:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Реализовать с использованием муравьиных алгоритмов решение задачи коммивояжера по индивидуальному заданию согласно номеру варианта.
|
||
\item Представить графически найденное решение
|
||
\item Сравнить найденное решение с представленным в условии задачи оптимальным решением и результатами, полученными в лабораторной работе №3.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Индивидуальное задание вариант 18:}
|
||
|
||
\textbf{Дано:} Эвклидовы координаты городов 38 городов в Джибути (см.~Приложение~А). Оптимальный тур представлен на Рис.~\ref{fig:optimal_tour}, его длина равна 6659.
|
||
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{img/optimal_tour.png}
|
||
\caption{Оптимальный тур для заданного набора данных}
|
||
\label{fig:optimal_tour}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Теоретические сведения}
|
||
|
||
\subsection{Общие сведения о муравьиных алгоритмах}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы (МА) относятся к метаэвристическим методам оптимизации и предназначены преимущественно для решения задач комбинаторной оптимизации, в частности задачи поиска оптимальных путей на графах. Основная идея таких алгоритмов основана на моделировании коллективного поведения реальных муравьёв, использующих феромонные следы для обмена информацией.
|
||
|
||
Каждый агент, называемый \textit{искусственным муравьём}, поэтапно строит решение задачи, перемещаясь по графу и выбирая следующую вершину на основе вероятностного правила, учитывающего концентрацию феромона на дугах графа. Феромон отражает привлекательность соответствующих маршрутов: чем выше его концентрация на дуге, тем вероятнее выбор этой дуги муравьём.
|
||
|
||
\subsection{Простой муравьиный алгоритм (SACO)}
|
||
|
||
Для иллюстрации рассмотрим простой муравьиный алгоритм SACO (Simple Ant Colony Optimization). Пусть задан граф
|
||
\[
|
||
G = (V, E),
|
||
\]
|
||
где $V$ — множество вершин, $E$ — множество рёбер. Каждой дуге $(i,j)$ сопоставлена величина феромона $\tau_{ij}$.
|
||
|
||
В начальный момент концентрация феромона обычно принимается нулевой, однако для предотвращения зацикливания каждому ребру присваивается малое случайное начальное значение $\tau_{ij}^{(0)}$.
|
||
|
||
Каждый муравей $k=1,\ldots,n_k$ помещается в стартовую вершину и начинает построение пути. Если муравей находится в вершине $i$, он выбирает следующую вершину $j \in N_i^k$ на основе вероятностного правила
|
||
\[
|
||
p_{ij}^k(t) = \frac{\tau_{ij}^\alpha(t)}{\sum\limits_{l \in N_i^k} \tau_{il}^\alpha(t)},
|
||
\]
|
||
где $\alpha$ — параметр, определяющий степень влияния феромона.
|
||
|
||
При отсутствии допустимых переходов допускается возврат в предыдущую вершину, что приводит к появлению петель, которые впоследствии удаляются.
|
||
|
||
После завершения построения полного пути $x_k(t)$ выполняется его оценка. Длина пути обозначается как $L_k(t)$ и равна числу пройденных дуг.
|
||
|
||
\subsection{Обновление феромона}
|
||
|
||
Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути согласно правилу
|
||
\[
|
||
\Delta \tau_{ij}^k(t) =
|
||
\begin{cases}
|
||
\frac{1}{L_k(t)}, &\text{если дуга } (i,j) \in x_k(t), \\
|
||
0, &\text{иначе}.
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
Общее обновление феромона на дуге $(i,j)$:
|
||
\[
|
||
\tau_{ij}(t+1) = \tau_{ij}(t) + \sum_{k=1}^{n_k} \Delta\tau_{ij}^k(t).
|
||
\]
|
||
|
||
Чем короче путь, тем больше феромона откладывается на его рёбрах, что повышает вероятность выбора коротких маршрутов в последующих итерациях.
|
||
|
||
\subsection{Испарение феромона}
|
||
|
||
Чтобы предотвратить преждевременную сходимость алгоритма к локальным минимумам, применяется механизм \textit{искусственного испарения феромона}. На каждом шаге выполняется:
|
||
\[
|
||
\tau_{ij}(t) = (1 - \rho)\,\tau_{ij}(t),
|
||
\]
|
||
где $\rho \in [0,1]$ — коэффициент испарения. Большие значения $\rho$ усиливают случайность поиска, малые — повышают устойчивость к изменениям.
|
||
|
||
\subsection{Критерии остановки алгоритма}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы могут завершаться при выполнении одного из условий:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item достигнуто максимальное число итераций;
|
||
\item найдено решение приемлемого качества $f(x_k(t)) \leq \varepsilon$;
|
||
\item все муравьи начинают строить одинаковые маршруты, что говорит о стабилизации процесса.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\subsection{Описание общего алгоритма}
|
||
|
||
Алгоритм SACO можно представить в следующем виде:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Инициализация феромона малыми случайными значениями $\tau_{ij}^{(0)}$.
|
||
\item Размещение всех муравьёв в начальной вершине.
|
||
\item Для каждой итерации:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Каждый муравей строит путь согласно вероятностному правилу выбора вершины.
|
||
\item Выполняется удаление петель.
|
||
\item Вычисляется длина пути $L_k(t)$.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item Выполняется испарение феромона.
|
||
\item Каждый муравей откладывает феромон на рёбрах своего пути.
|
||
\item Итерация продолжается до выполнения критерия остановки.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Муравьиные алгоритмы позволяют эффективно находить приближённые решения задач комбинаторной оптимизации, таких как задача коммивояжёра, что и является целью данной лабораторной работы.
|
||
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Особенности реализации}
|
||
|
||
=== Нужно обновить раздел ===
|
||
|
||
В рамках работы создана мини-библиотека \texttt{gen.py} для решения задачи коммивояжёра (TSP) генетическим алгоритмом с путевым представлением хромосом. Второй модуль
|
||
\texttt{expirements.py} организует серийные эксперименты (перебор параметров,
|
||
форматирование и сохранение результатов).
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \textbf{Кодирование особей}: каждая хромосома представлена как перестановка городов (\texttt{Chromosome = list[int]}), где каждый элемент -- индекс города. Популяция -- список хромосом (\texttt{Population = list[Chromosome]}). Инициализация случайными перестановками без повторений:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{initialize\_random\_population(pop\_size: int, cities: Cites) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Фитнесс-функция}: целевая функция принимает хромосому (маршрут) и возвращает скалярное значение фитнесса (длину пути). Для режима минимизации используется внутреннее преобразование при селекции (сдвиг и инверсия знака), что позволяет применять рулетку:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{eval\_population(population: Population, fitness\_func: FitnessFn) -> Fitnesses}
|
||
\item Логика режима минимизации в \texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Селекция (рулетка)}: вероятности нормируются после сдвига на минимальное значение в поколении (устойчиво к отрицательным фитнессам). Функция:
|
||
\texttt{reproduction(population: Population, fitnesses: Fitnesses) -> Population}.
|
||
\item \textbf{Кроссинговер}: реализованы специализированные операторы для перестановок: PMX (Partially Mapped Crossover), OX (Ordered Crossover) и CX (Cycle Crossover). Кроссинговер выполняется попарно по перемешанной популяции с вероятностью $p_c$. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{partially\_mapped\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{ordered\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{cycle\_crossover\_fn(p1: Chromosome, p2: Chromosome) -> tuple[Chromosome, Chromosome]}
|
||
\item \texttt{crossover(population: Population, pc: float, crossover\_fn: CrossoverFn) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Мутация}: реализованы три типа мутаций для перестановок: обмен двух городов (swap), инверсия сегмента (inversion), вырезка и вставка города (insertion). Мутация применяется с вероятностью $p_m$. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{swap\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{inversion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{insertion\_mutation\_fn(chrom: Chromosome) -> Chromosome}
|
||
\item \texttt{mutation(population: Population, pm: float, mutation\_fn: MutationFn) -> Population}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Критерий остановки}: поддерживаются критерии по максимальному количеству поколений, повторению лучшего результата, достижению порогового значения фитнесса. Хранится история всех поколений. Проверка выполняется в функции:
|
||
|
||
\texttt{genetic\_algorithm(config: GARunConfig) -> GARunResult}.
|
||
\item \textbf{Визуализация}: реализована отрисовка маршрутов обхода городов на плоскости с отображением лучшей особи поколения. Функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{plot\_tour(cities: list[tuple[float, float]], tour: list[int], ax: Axes)}
|
||
\item \texttt{save\_generation(generation: Generation, history: list[Generation], config: GARunConfig)}
|
||
\item \texttt{plot\_fitness\_history(result: GARunResult, save\_path: str | None) -> None}
|
||
\end{itemize}
|
||
\item \textbf{Элитизм}: поддерживается перенос лучших особей без изменения в следующее поколение (\texttt{elitism} параметр).
|
||
\item \textbf{Измерение времени}: длительность вычислений возвращается в миллисекундах как часть \texttt{GARunResult.time\_ms}.
|
||
\item \textbf{Файловая организация}: результаты экспериментов сохраняются в структуре \texttt{experiments/N/} с таблицами результатов. Задействованные функции:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \texttt{clear\_results\_directory(results\_dir: str) -> None}
|
||
\item Функции для проведения экспериментов в модуле \texttt{expirements.py}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
В модуле \texttt{expirements.py} задаются координаты городов и параметры экспериментов.
|
||
Серийные запуски и сохранение результатов реализованы для исследования влияния параметров ГА на качество решения задачи коммивояжёра.
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Результаты работы}
|
||
|
||
=== Нужно обновить раздел ===
|
||
|
||
На Рис.~\ref{fig:results} представлены результаты работы простого муравьиного алгоритма со следующими параметрами:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $N = 500$ -- размер популяции.
|
||
\item $p_c = 0.9$ -- вероятность кроссинговера.
|
||
\item $p_m = 0.3$ -- вероятность мутации.
|
||
\item $2500$ -- максимальное количество поколений.
|
||
\item $3$ -- количество "элитных" особей, переносимых без изменения в следующее поколение.
|
||
\item Partially mapped crossover - кроссовер.
|
||
\item Inversion mutation - мутация
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
На Рис.~\ref{fig:fitness_history} показан график изменения фитнесса по поколениям. Видно, что алгоритм постепенно сходится к минимально возможному значению фитнеса. Лучший маршрут был найден на поколнении №1896 (см. Рис.~\ref{fig:lastgen}).
|
||
|
||
% \begin{figure}[h!]
|
||
% \centering
|
||
% \includegraphics[width=1\linewidth]{img/results/fitness_history.png}
|
||
% \caption{График изменения фитнесса по поколениям}
|
||
% \label{fig:fitness_history}
|
||
% \end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Сравнение с результатами лабораторной работы №3}
|
||
|
||
=== Нужно написать раздел, ниже представлена часть отчёта из лаб3, чтобы было с чем сравнить ===
|
||
|
||
Наилучшее найденное решение составило \textbf{6667.03} при параметрах $N=500$, $P_c=0.9$, $P_m=0.5$ за 1644 поколения. Это всего на \textbf{0.12\%} хуже оптимального значения 6659, что демонстрирует высокую эффективность алгоритма. Наихудшие результаты показала конфигурация с $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.3$ (лучший фитнес 6796.98), что на 2.07\% хуже оптимума. Малый размер популяции в 10 особей оказался недостаточным для стабильного поиска качественных решений — более половины конфигураций при $N=10$ вообще не нашли решение за 2500 поколений.
|
||
|
||
Наиболее быстрая конфигурация — $N=10$, $P_c=0.7$, $P_m=0.5$ — нашла решение за \textbf{201 мс} (503 поколения). Однако качество решения при таких параметрах нестабильно. Среди конфигураций с большой популяцией лучшее время показала $N=500$, $P_c=0.5$, $P_m=0.2$ — \textbf{5232 мс} (341 поколение), что является оптимальным балансом скорости и качества для больших популяций.
|
||
|
||
С ростом размера популяции наблюдается явное улучшение качества решений: при $N=10$ лучший результат 6762.97, при $N=500$ — 6667.03. Одновременно количество необходимых поколений снижается (с 503 до 341), но общее время выполнения растет линейно из-за увеличения числа особей в каждом поколении. Этот эффект объясняется тем, что большая популяция обеспечивает большее генетическое разнообразие, позволяя алгоритму быстрее находить оптимальные решения.
|
||
|
||
Что касается вероятности кроссовера, средние значения $P_c=0.6$--$0.8$ показывают стабильные результаты для всех размеров популяций. Экстремальные значения ($P_c=0.9$ или $1.0$) работают хорошо только при больших популяциях ($N \geq 100$), при малых — часто приводят к преждевременной сходимости (наблюдается много прочерков в таблицах). Это связано с тем, что высокая вероятность кроссовера при малой популяции быстро приводит к гомогенизации генофонда.
|
||
|
||
Анализ влияния вероятности мутации показал, что низкие значения $P_m=0.05$ неэффективны для малых популяций — недостаточно разнообразия для выхода из локальных минимумов. Умеренные значения $P_m=0.2$--$0.5$ демонстрируют лучшие результаты, обеспечивая баланс между эксплуатацией найденных решений и исследованием нового пространства поиска. Высокое значение $P_m=0.8$ часто приводит к расхождению алгоритма, так как слишком сильные изменения разрушают хорошие решения быстрее, чем алгоритм успевает их найти (многие конфигурации не нашли решение за отведенное время).
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section{Ответ на контрольный вопрос}
|
||
|
||
\textbf{Вопрос}: Какие критерии окончания могут быть использованы в простом МА?
|
||
|
||
\textbf{Ответ}: В простом муравьином алгоритме могут использоваться следующие критерии завершения работы:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item окончание при превышении заданного числа итераций;
|
||
\item окончание по достижению приемлемого решения;
|
||
\item окончание в случае, когда все муравьи начинают следовать одним и тем же путём.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Заключение}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Заключение}
|
||
|
||
=== Нужно обновить раздел ===
|
||
|
||
В ходе третьей лабораторной работы была успешно решена задача коммивояжера с использованием генетических алгоритмов для 38 городов Джибути:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Изучен теоретический материал о представлениях туров (соседское, порядковое, путевое) и специализированных операторах кроссинговера и мутации для задачи коммивояжера;
|
||
\item Создана программная библиотека на языке Python с реализацией путевого представления хромосом, операторов PMX, OX и CX для кроссинговера, операторов swap, inversion и insertion для мутации, а также селекции методом рулетки с поддержкой элитизма;
|
||
\item Проведено исследование влияния параметров генетического алгоритма на качество и скорость нахождения решения для популяций размером 10, 50, 100 и 500 особей с различными значениями вероятностей кроссинговера и мутации;
|
||
\item Получено решение с длиной маршрута 6667.03, отклоняющееся от оптимального значения 6659 всего на 0.12\%.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
|
||
\newpage
|
||
\section*{Список литературы}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
|
||
|
||
\vspace{-1.5cm}
|
||
\begin{thebibliography}{0}
|
||
\bibitem{vostrov}
|
||
Методические указания по выполнению лабораторных работ к курсу «Генетические алгоритмы», 119 стр.
|
||
\end{thebibliography}
|
||
|
||
\end{document} |