4.9 KiB
Задание 1
Постановка задачи
В рамках данной работы необходимо:
1. Изучить методы определения производительности вычислительных систем.
2. Разработать собственную реализацию теста LINPACK, применив уникальный метод распараллеливания вычислений.
3. С помощью собственной реализации и стандартного теста LINPACK исследовать производительность узла СКЦ .Политехнический.
Математическое описание
2.1 Задача решения СЛАУ
Дано: a11x1 + a12x2 + ・ ・ ・ + a1nxN = b1 a21x1 + a22x2 + ・ ・ ・ + a2nxN = b2 . . . aN1x1 + am2x2 + ・ ・ ・ + amnxN = bN Ax = b — система N линейных уравнений с N неизвестными, где: – A — матрица N × N коэффициентов – x — вектор N неизвестных – b — вектор N свободных членов уравнений Найти: Элементы вектора x, при которых |Ax − b| ≤ ϵ, где ϵ — точность найденного решения. Численные методы решения СЛАУ Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих факторов).
2.2.1 Прямые методы
Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К ним относятся: метод Гаусса, Крамера, метод прогонки и др. Достоинства: – дают решение после выполнения заранее известного числа операций – сравнительно просты и наиболее универсальны (пригодны для решения широкого класса линейных систем). Недостатки: – необходимость хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, – накапливание погрешностей в процессе решения. В связи с этим прямые методы используют обычно для не слишком больших (N ≤ 200) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Для больших N используются итерационные методы.
2.2.2 Итерационные методы
Итерационные методы – это методы последовательных приближений. Среди них: метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя и др. В итерационных методах необходимо задать некоторое приближённое решение – начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью.
2.3 Метод Якоби
Пусть требуется численно решить систему линейных уравнений: a11x1 + . . . + a1nxn = b1 . . . an1x1 + . . . + annxn = bn Предполагается, что aii ̸= 0, i ∈ {1, . . . , n} (иначе метод Якоби неприменим). Выразим x1 через первое уравнение, x2 — через второе и т.д.: В методе Якоби последовательность приближений x(k) строится следующим образом. Выбирается первое приближение x(0), формула для остальных приближений имеет вид:
Постановка эксперимента
(Произведено исследование производительности с помощью реализации теста от Intel - Intel High Performance Linpack, - и собственной реализации на CUDA. Тестирование производилось для набора значений N от 1000 до 15000.)