61 lines
4.9 KiB
Markdown
61 lines
4.9 KiB
Markdown
|
||
# Задание 1
|
||
## Постановка задачи
|
||
В рамках данной работы необходимо:
|
||
### 1. Изучить методы определения производительности вычислительных систем.
|
||
### 2. Разработать собственную реализацию теста LINPACK, применив уникальный метод распараллеливания вычислений.
|
||
### 3. С помощью собственной реализации и стандартного теста LINPACK исследовать производительность узла СКЦ .Политехнический.
|
||
|
||
Математическое описание
|
||
### 2.1 Задача решения СЛАУ
|
||
Дано:
|
||
a11x1 + a12x2 + ・ ・ ・ + a1nxN = b1
|
||
a21x1 + a22x2 + ・ ・ ・ + a2nxN = b2
|
||
. . .
|
||
aN1x1 + am2x2 + ・ ・ ・ + amnxN = bN
|
||
Ax = b — система N линейных уравнений с N неизвестными, где:
|
||
– A — матрица N × N коэффициентов
|
||
– x — вектор N неизвестных
|
||
– b — вектор N свободных членов уравнений
|
||
Найти:
|
||
Элементы вектора x, при которых |Ax − b| ≤ ϵ, где ϵ — точность найденного
|
||
решения.
|
||
Численные методы решения СЛАУ
|
||
Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих
|
||
факторов).
|
||
### 2.2.1 Прямые методы
|
||
Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. К ним относятся: метод Гаусса, Крамера, метод прогонки и др.
|
||
Достоинства:
|
||
– дают решение после выполнения заранее известного числа операций
|
||
– сравнительно просты и наиболее универсальны (пригодны для решения широкого класса линейных систем).
|
||
Недостатки:
|
||
– необходимость хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы,
|
||
– накапливание погрешностей в процессе решения.
|
||
В связи с этим прямые методы используют обычно для не слишком больших
|
||
(N ≤ 200) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Для больших N используются итерационные методы.
|
||
### 2.2.2 Итерационные методы
|
||
Итерационные методы – это методы последовательных приближений. Среди
|
||
них: метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя и др.
|
||
В итерационных методах необходимо задать некоторое приближённое решение – начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма
|
||
проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с
|
||
требуемой точностью.
|
||
### 2.3 Метод Якоби
|
||
Пусть требуется численно решить систему линейных уравнений:
|
||
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
|
||
. . .
|
||
an1x1 + . . . + annxn = bn
|
||
Предполагается, что aii ̸= 0, i ∈ {1, . . . , n} (иначе метод Якоби неприменим).
|
||
Выразим x1 через первое уравнение, x2 — через второе и т.д.:
|
||
В методе Якоби последовательность приближений x(k) строится следующим
|
||
образом. Выбирается первое приближение x(0), формула для остальных приближений имеет вид:
|
||
|
||
|
||
Постановка эксперимента
|
||
|
||
(Произведено исследование производительности с помощью реализации теста
|
||
от Intel - Intel High Performance Linpack, - и собственной реализации на CUDA.
|
||
Тестирование производилось для набора значений N от 1000 до 15000.)
|
||
|
||
|
||
|